La intuición por la escala de la mayor autovalor de la Gaussiana simétrica matriz

Question

Deje $X$ $n \times n$ matriz cuyos elementos de la matriz son independientes idénticamente distribuidas variables normales con cero de la media y la varianza de $\frac{1}{2}$. Entonces $$A = \frac{1}{2} \left(X + X^\top\right)$$ es una matriz aleatoria de GOE conjunto con peso $\exp(-\operatorname{Tr}(A^2))$. Deje $\lambda_\max(n)$ denotar su mayor autovalor. El borde suave límite afirma convergencia de $\left(\lambda_\max(n)-\sqrt{n}\right) n^{1/6}$ en la distribución como $n$ aumenta.

P: estoy tratando de conseguir una intuición (o mejor aún, un simple argumento) de por qué el mayor autovalor escalas como $\sqrt{n}$.

Answer 1

Considere la posibilidad de un Frobenius de la norma al cuadrado de $A$: $$\|\|^2 = \sum_{i,j} a_{i,j}^2 = 2 \sum_{i<j}a_{i,j}^2 + \sum_{i} a_{ii}^2 = \sum_{i=1}^n \lambda_i^2$$ El valor esperado de $\|A\|^2$ es fácil de encontrar: $$\mathbb{E}\left ( \|\|^2 \right) = 2 \sum_{i<j} \mathbb{E}\left(a_{i,j}^2\right) + \sum_{i} \mathbb{E}\left( a_{ii}^2 \right) = 2 \sum_{i<j} \frac{1}{4} + \sum_{i} \frac{1}{2} = \frac{n(n+1)}{4} < n \mathbb{E}\left(\lambda_\max(n)^2\right)$$ esto establece $\lambda_\max(n)$ escalas de, al menos, como $\sqrt{n}$

Answer 2

La escala de la siguiente manera a partir de la Wigner semicírculo de la ley. La prueba de la Wigner semicírculo ley se describe en la sección 2.5 de la revista "polinomios Ortogonales conjuntos en la teoría de la probabilidad" de W. König, Probabilidad de Encuestas, vol. 2 (2005), pp 385-447.