¿Hay alguna prueba de que la función Zeta de Riemann no es elemental?

Question

Por curiosidad, ¿alguien ha demostrado alguna vez que la función Zeta de Riemann no es una función elemental?

Aquí estoy usando el término "elemental" en el sentido de Liouville o como se define en este documento . A grandes rasgos, "elemental" significa "que se puede construir a partir de las funciones racionales utilizando una cantidad finita de logaritmos o exponenciales".

Answer 1

Hilbert y sus seguidores demostraron que la función zeta de Riemann no podía ser solución de una ecuación algebraica diferencial (a diferencia de funciones elementales ).

La idea es, en breve, que la función zeta meromorfa de Riemann satisface su famosa ecuación funcional que implica la función Gamma : $$\tag{1}\zeta(z) = 2^z\pi^{z-1}\sin\frac{\pi z}{2} \;\Gamma(1-z)\;\zeta(1-z)$$ Suponiendo que $\zeta$ es diferencialmente algebraico implicaría claramente que el $\Gamma$ es también diferencialmente algebraica (aislando $\Gamma(1-z)$ en $(1)\,$ ) pero esto fue demostrado ser falso por Hölder (ver las pruebas detalladas en las referencias). $$-$$ Gamma y zeta no son solución de ecuaciones diferenciales algebraicas (y así "funciones hipertrascendentes" ) mientras que las funciones elementales y sus integrales (recursivamente) definen el "Funciones Liouvillianas" que son todas soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas (esto incluye muchas funciones especiales como la integral exponencial y logarítmica, la función de error, etc.).

También existen soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas que no son liouvillianas (si excluimos los casos especiales): funciones de Bessel, funciones hipergeométricas y sus generalizaciones como las funciones G de Meijer.

Ref:

• Mijajlovic y Malesevic "Funciones diferencialmente trascendentes"
• Chiang y Feng "Independencia de la diferencia de la función zeta de Riemann"
• Hölder "Sobre la propiedad de la función gamma de no satisfacer ninguna algebraica Ecuación diferencial" Las matemáticas. Ann. 28 (1887)
• Ostrowski "Nueva demostración del teorema de Hoelders de que la función gamma no satisface ninguna ecuación diferencial algebraica". Matemáticas. Ann. 79 (1919)
• Hausdorff "Al teorema de Hölder sobre $\Gamma(x)$ " Matemáticas. Ann. 94 (1925)
• Banco y Kaufman "Una extensión del teorema de Hölder sobre la función gamma"