En un espacio normado $(E,\lVert \cdot\rVert)$ espacio tenemos la siguiente desigualdad: $$\forall\, x,y\in E,\quad\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\leq \lVert x-y\rVert\cdot \|x+y\|.$$ ¿Cómo podemos demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Davide Giraudo
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Tenemos $$2||x||=||2x||=||x+y+x-y||\leq||x+y||+||x-y|| $$ así que $$4||x||^2\leq ||x+y||^2+2||x+y||\cdot||x-y||+||x-y||^2,$$ y $$|||x+y||-||x-y|||\leq 2||y||$$ así que $$||x+y||^2-2||x+y||\cdot||x-y||+||x-y||^2\leq 4||y||^2.$$ Obtenemos \begin{align*}4(||x||^2-||y||^2)&\leq ||x+y||^2+2||x+y||\cdot||x-y||+||x-y||^2\\ &-(||x+y||^2-2||x+y||\cdot||x-y||+||x-y||^2)\\ &=4||x+y||\cdot||x-y||, \end{align*} por lo que $||x||^2-||y||^2\leq ||x+y||\cdot||x-y||$ para todos $x,y$ . (no necesitamos un espacio de Banach, basta con un espacio normado)
