Si $f_n \in L^1$, el límite de la función $f$ también en $L^1$ en la monotonía teorema de convergencia?

Question

Monotono teorema de convergencia no requiere de la secuencia de funciones de $f_n$'s $L^1$. Al $f_n\in L^1$, su pointwise la función de límite de $f$ también en $L^1$? Gracias!

Answer 1

No necesariamente.

Definir $f_n$ como sigue.

En $[-n,n]$, $f_n(x):=1$ $f_n(x):=0$ en otros lugares.

Cada una de las $f_n$$L^1$.

Pero el pointwise límite, que es igual a la constante de la función$f(x)=1$$\mathbb{R}$, no es en $L^1$.

Answer 2

No del todo, ya que la monotonía teorema de convergencia incluye el caso en que $\lim_{n \to \infty} \int f_n \ d\mu = \infty$. Pero si el límite es finito, $f \in L^1$.