¿Puede un ventilador mecánico aumentar la temperatura del gas ideal?

Question

Supongamos que tenemos un recipiente aislado térmicamente de un gas homogéneo a temperatura $T$ . Si, por ejemplo, el contenedor está lleno de xenón a STP, entonces sabemos que la velocidad RMS de cada partícula de xenón, $S_p$ es de unos 240 m/s.

Ahora introducimos un aspa de ventilador sólida sobre un eje en el centro del contenedor y comenzamos a girarla. Al girar, altera la velocidad de cada partícula con la que interactúa a través de simples colisiones inelásticas.

Si la velocidad de las aspas del ventilador $S_b$ es pequeño en relación con la velocidad RMS de las partículas (es decir $S_b \ll S_p$ ), entonces parece que no puede aumentar la velocidad media de las partículas porque, en promedio, es igual de probable que colisione con una partícula con una componente de velocidad opuesta al movimiento de la hoja (reduciendo la componente de velocidad de esa partícula en $S_b$ ) como para colisionar con una partícula a la que $S_b$ es aditivo. Además, las colisiones de partículas tienen casi la misma probabilidad de ocurrir con el retrocediendo cara de la hoja como con el avanzando cara. (Pero eso casi parece una pista....)

Sin embargo, a medida que la velocidad del ventilador se hace grande en relación con la velocidad RMS de las partículas, es decir, $S_b \gg S_p$ :

1. Es mucho más probable que la cuchilla aumente la velocidad RMS de cualquier partícula, ya que, en promedio, incluso si una partícula se está moviendo en dirección opuesta a la cuchilla que avanza, $|S_b - S_p| > |S_p|$ .
2. Es mucho menos probable que una partícula colisione con la cara que retrocede de la hoja.

Así que el punto 1 parece sugerir que el ventilador aumentará de hecho la velocidad RMS del gas en algo así como $|S_b - S_p|$ Pero el punto 2 parece sugerir que esto no sucederá por mucho tiempo, porque eventualmente la velocidad promedio de las partículas coincidirá con la velocidad de la hoja.

(Si es necesario, podemos suponer que el recipiente es cilíndrico o esférico, y que la hoja es en el límite un sólido puntual que gira a un radio fijo desde el centro. Supongamos además que se añade energía externa a la pala según sea necesario para mantener su velocidad en $S_b$ ... aunque observaremos que si realizamos el experimento a lo largo del tiempo dicha energía disminuye rápidamente a medida que el ventilador "hace girar el gas").

¿Qué ocurre realmente en este sencillo modelo? ¿El ventilador aumenta la temperatura del recipiente en una cantidad fija relacionada con $S_b$ ? ¿Depende la conversión de energía en calor de las velocidades relativas de la hoja y de la partícula media, y si es así, cuál es la naturaleza de esa relación?

Answer 1

Poner una hoja giratoria en un gas ideal, debe aumentar la energía total del sistema.

Sea cual sea la velocidad del ventilador, estás añadiendo, aunque sea por poco tiempo, energía al sistema, lo que aumentará la temperatura del gas.

Estoy ignorando la distribución de velocidad de Maxwell, ya que sólo complica un problema que realmente se basa en la mecánica de las partículas que chocan con la hoja giratoria.

entonces parece que no puede aumentar la velocidad media de las partículas sin importar el tiempo que corra porque en promedio es tan probable que choque con una partícula con un componente de velocidad opuesto al movimiento de la hoja (reduciendo el componente de velocidad de esa partícula por Sb) como que choque con una partícula a la que Sb es aditivo.

Para simplificar, imaginemos dos partículas de gas con vectores de velocidad normales a la superficie de la cuchilla que se aproxima, pero una se dirige hacia la cuchilla y la otra se aleja directamente.

La partícula que se aleja directamente, recibirá un impulso de velocidad de la hoja en movimiento.

La partícula que se dirige hacia la cuchilla tendrá 1 de las tres velocidades relativas a la cuchilla.

1. Su velocidad es superior a la de la cuchilla, por lo que la frena ligeramente.

2. Su velocidad coincide con la de la hoja, en cuyo caso, su velocidad cae momentáneamente a cero, durante un momento infinitesimal, y luego adquiere la velocidad de la hoja.

3. Su velocidad es menor que la de la hoja, por lo que al chocar con ella adquiere una velocidad extra.

Detrás de la hoja, las partículas que se alejan de ella, no tendrán ningún efecto.

Las partículas que se mueven hacia la cuchilla, sólo servirán para aumentar la velocidad de las cuchillas.

Cuando se promedia el efecto de todas estas posibles situaciones, se tiene un aumento neto de la velocidad del gas en el sistema, y un aumento asociado de energía y temperatura.

Answer 2

La respuesta a tu primera pregunta en el comentario "¿Puedo aumentar la temperatura de un gas golpeando mecánicamente las partículas con un sólido macroscópico?", la respuesta es "normalmente sí", y en lo que respecta al montaje particular que has mencionado la respuesta es "definitivamente sí". Comparación de la velocidad de las aspas del ventilador ( $S_b$ ) y la velocidad rms de las partículas de gas ( $S_p$ ) es irrelevante para esta cuestión en particular, con lo que quiero decir que en la medida en que $S_b\neq 0$ es posible calentar el gas agitándolo. De hecho, en la configuración de flujo particular que has sugerido, es inevitable que el gas se caliente. Esto se entiende más fácilmente observando el flujo a nivel macroscópico. Dondequiera que haya gradientes de velocidad en el flujo, allí la acción viscosa convierte parte o toda la energía mecánica del flujo en su energía interna. En su instalación, si no hay ningún otro lugar, habrá gradientes de velocidad en la pared del recipiente.

Por lo tanto, para responder a su primera pregunta de forma sucinta, se puede aumentar la temperatura de un gas golpeando mecánicamente las partículas con un sólido macroscópico, siempre que se las golpee de tal manera que se creen regiones de mayor movimiento medio y regiones de menor movimiento medio en el dominio del flujo . Las colisiones moleculares garantizan entonces la disipación de la energía cinética contenida en el movimiento medio. La forma exacta en que esto ocurre requiere una explicación de la viscosidad a nivel molecular y se explica en este Correo electrónico: que mencioné antes. Si se golpea a las partículas de gas de tal manera que todas ellas tengan el mismo movimiento medio (por ejemplo, la rotación de un cuerpo sólido, donde la pared del recipiente hace el "golpe") entonces, por supuesto, no habría disipación viscosa y, en consecuencia, no habría aumento de la temperatura del gas.

Tu segunda pregunta en el comentario "Si es así, ¿cuánto [puede aumentar la temperatura]?" es un poco vaga, ya que la temperatura puede aumentar indefinidamente en la medida en que sigas inyectando energía en el flujo mediante el ventilador (por supuesto, varias limitaciones, prácticas y teóricas, pondrán freno a este aumento indefinido, pero esa es otra cuestión). Una pregunta más adecuada sería "¿A qué velocidad puede aumentar la temperatura?", y la respuesta a esta pregunta depende de $S_b$ y $S_p$ .

Desde el punto de vista del continuo, la tasa de disipación en un punto por unidad de masa de fluido viene dada por $\epsilon=\nu s_{ij}s_{ij}$ , donde $\nu$ es la viscosidad cinemática del fluido y $s_{ij}$ es la velocidad de deformación en el punto dado. La tasa de disipación en todo el flujo viene dada entonces por $Q=\int_VdV\rho\epsilon$ , donde $V$ es el volumen del fluido y $\rho$ es la densidad del fluido. La viscosidad cinemática $\nu\sim S_pl_{mean}$ en el que $l_{mean}$ es el camino libre medio de las moléculas de gas. La magnitud media de la velocidad de deformación puede tomarse como $S_b/L$ en el que $L$ es la longitud de la hoja (quizás se pueda derivar una escala de longitud mejor a partir de consideraciones más cuidadosas). Por lo tanto, $Q\sim \rho V S_p l_{mean}(S_b/L)^2$ . Se ve que para un fluido dado, las pequeñas velocidades de las palas dan lugar a pequeñas tasas de deformación que dan lugar a pequeñas tasas de disipación que dan lugar a un lento aumento de la temperatura del gas. Pero la tasa de incremento nunca es cero para un $S_b$ no importa lo pequeño que sea.