Estoy tratando de conseguir la lógica detrás de la secuencia: para $n=2,3,\ldots$ $$\left(\frac{\log (2)}{\log \left(\frac{3}{2}\right)},\frac{\log (3)}{\log \left(\frac{17}{9}\right)},\frac{\log (4)}{\log \left(\frac{71}{32}\right)},\frac{\log (5)}{\log \left(\frac{1569}{625}\right)},\frac{\log (6)}{\log \left(\frac{899}{324}\right)},\frac{\log (7)}{\log \left(\frac{355081}{117649}\right)},\frac{\log (8)}{\log \left(\frac{425331}{131072}\right)},\frac{\log (9)}{\log \left(\frac{16541017}{4782969}\right)},\frac{\log (10)}{\log \left(\frac{5719087}{1562500}\right)},\frac{\log (11)}{\log \left(\frac{99920609601}{25937424601}\right)},\frac{\log (12)}{\log \left(\frac{144619817}{35831808}\right)},\ldots\right)$$ para $n=30$ $$\frac{\log (30)}{\log \left(\frac{53774416559964522337191179}{16}\right)-16 \log (3)-23 \log (5)}$$ $\textbf{Background}$: Esto es parte de un proyecto para averiguar cómo poco a poco, los errores de la ley de potencia distribuida sumas obedecer la ley de los grandes números. Por ello, puede no ser necesario para encontrar la lógica de la secuencia anterior, pero estos corresponden a la exponente $\left\{{\alpha:\frac{MD(n)}{MD(1)}=\left(\frac{1}{n}\right)^{1-\frac{1}{\alpha }}}\right\}$donde $MD(n)$ es la media de la desviación absoluta de un n-resumió T de Student variable de distribución con cola exponente/grados de libertad igual a 3 (y una media de $0$). Numéricamente llegamos $$\{1.70951,1.72741,1.73951,1.74855,1.7557,1.76158,1.76655,1.77084,1.7746,1.77795,1.78095,1.78367,1.78615,1.78843,1.79054,1.79249,1.79432,1.79602,1.79762,1.79913,1.80056,1.80191,1.80319,1.80441,1.80557,1.80669,1.80775,1.80877,1.80974\},$$ una lenta convergencia a 2, que es el caso con una Distribución Normal.
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Parece que tenemos$$I(n)=\frac{\log (n)}{\log \left(\frac{f(n)}{z(n)}\right)}$ $ donde$f(n)= \sum _k^n \frac{n! n^{-k+n-1}}{(n-k)!}$ y$z(n)=n^{n-1}$ (gracias a Mike Lawler a través de https://oeis.org/search?q=355081&language=english&go=Search )
Déjame llamar a $b(n)$ $n$- ésimo término de la secuencia.
Es fácil(?) a ver que $$ b(n) = \frac{\log(n)}{\log(n)-(n-1)\log(n)} $$ donde $$ a(n)=\sum_{k=1}^n\frac{n!\cdot n^{n-k-1}}{(n-k)!}=\frac{1}{n}\left[n^n+\sum_{k=1}^{n-1}{n\elegir k}(n-k)^{n-k}k^k\right]=\frac{e^n\cdot \Gamma(n+1,n)}{n}-n^{n-1}\,, $$ donde $$\Gamma(a,z)=\int_z^\infty t^{a-1}e^{-t}\,dt$$ es la función Gamma incompleta.
En realidad $a(n)$ es la secuencia A001865 (Número de conectados funciones en n nodos etiquetados) en la OEIS, así que si usted siga el vínculo, encontrará más detalles, asymptotics y otros combinatoria interpretaciones para $a(n)$. Espero que esto ayude.
