¿Uno puede deducir si una determinada cantidad es posible como el área de un triángulo con la longitud de dos de sus lados?

Question

Recientemente he encontrado una pregunta como la siguiente:

En el triángulo $ABC$, $AB=AC=2$. Cuál de los siguientes podría ser la zona de triángulo $ABC$? Indicar todos los ámbitos posibles:

[A] $0.5$ [B] $1.0$ [C] $1.5$ [D] $2.0$ [E] $2.5$ [F] $3.0$

Desde mi punto de vista, sólo puedo adivinar una respuesta si asumimos que el triángulo es un triángulo de ángulo recto. En ese caso, el área se $2$.

Pero la respuesta mostró el resultado, [A][B][C][D].

Así que mi pregunta a esto es que hay algún axioma de que el área del ángulo derecho será la zona más alta de cualquier tipo de triángulo con la que expresan dos longitudes de ella?

Gracias de antemano.

Answer 1

No es un axioma, pero sí: el área de un triángulo es $\frac{1}{2}ab \sin \theta$, donde $a$ y $b$ son dos longitudes de lado conocido y $\theta$ es el ángulo entre las dos longitudes de lado dado. Desde $\sin \theta$ alcanza su máximo valor cuando $\theta=90°$ (en cuyo caso tenemos $\sin 90° = 1$), de hecho se alcanza la mayor área posible para el caso de un ángulo recto.

Answer 2

Pista: es de la zona de $\Delta ABC$ $\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$. Sabes que $AB = AC = 2$ y que $0 < \sin A \le 1$, desde $0 < A < 180^{\circ}$. Así que, ¿cuál es la gama de posibles áreas de $\Delta ABC$?

Answer 3

El área del paralelogramo proporcional a su altura. Es máxima para un rectángulo. El triángulo es el mitad paralelogramo

Answer 4

El área de pico será la zona cuando estos dos patas son perpendiculares entre sí. Pero áreas más pequeñas son posibles, hasta $0$, como las dos piernas se convierten más cerca y más cerca de ser paralelas. Si sabes que la zona es $\frac12(\text{base})(\text{height})$ entonces puede usar una de estas patas como la base y ver a que altura se maximiza cuando la otra pierna es perpendicular a la base.

Answer 5

Dado dos lados tienen la misma longitud = 2, el área mínima del triángulo será 0. Y área máxima será de 2 (cuando el triángulo es un triángulo rectángulo).

Así área posible son A, B, C y D (< = 2). E y F no son posibles (> 2)