La medida de Hausdorff aproximada no es Borel

Question

Este es un ejercicio tomado de Mattila, Geometría de conjuntos y medidas en el espacio euclidiano, capítulo 4.

Ejercicio. Sea $U$ una bola abierta en $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 2$) tal que $d(U)=\delta$ [aquí $d$ significa "diámetro"]. Muestra que para $0\le s \le 1$, $$\tag{1} \mathcal{H}^s_\delta(U)=\mathcal{H}^s_\delta\left(\overline{U}\right)=\mathcal{H}^s_\delta(\partial U).$$

Aquí $\mathcal{H}^s_\delta(A)$ es el ínfimo de las sumas $$\sum_{j=1}^\infty d^s(E_j), $$ donde $\{E_j\}$ es una cubierta de $A$ tal que $d(E_j)\le \delta$. Cuando $\delta\downarrow 0$, $\mathcal{H}^s_\delta(A)$ tiende a la medida de Hausdorff $\mathcal{H}^s(A)$. El objetivo de este ejercicio es demostrar que, incluso si $\mathcal{H}^s_\delta$ es una medida (externa), no es Borel ya que no es aditiva en $\overline{U}=U\cup \partial U$.

¿Puedes ayudarme con este ejercicio? Estas cosas son nuevas para mí y agradecería una pista para comenzar. ¡Gracias!

Answer 1

Voy a escribir aquí un bosquejo de solución, basado en la sugerencia que amablemente dio GEdgar en los comentarios anteriores. Notación como arriba, sea $D$ un diámetro de $U$. Entonces si $\{E_j\}$ es una cobertura de $D$ claramente tenemos $$\sum_j d(E_j) \ge \delta, $$ y como $0\le s\le 1$, por subaditividad inferimos $\sum_j d^s(E_j)\ge \delta^s$. Dado que $D$ está contenido en ambos $U$ y $\overline{U}$, esto nos da un límite inferior $$ \mathcal{H}^s_\delta(U)\ge \delta^s,\quad \mathcal{H}^s_\delta(\overline{U})\ge \delta^s.$$ De una manera algo similar podemos observar que si $\{F_j\}$ es una cobertura de $\partial U$, entonces $$\sum_j d(F_j)\ge \text{longitud de un camino poligonal cerrado con vértices en }\partial U.$$ Dado que el más corto de tales caminos es el diámetro, inferimos que $\sum_j d(F_j)\ge \delta$ y así, argumentando como antes, $$\mathcal{H}^s_\delta(\partial U)\ge \delta^s.$$ Ahora $U$, $\overline{U}$ y $\partial U$ son todos $\delta$-coberturas de sí mismos, y por lo tanto $$\mathcal{H}^s_\delta(U)\le d^s(U),\quad \mathcal{H}^s_\delta(\overline{U})\le d^s(\overline{U}),\quad \mathcal{H}^s_\delta(\partial U)\le d^s(\partial U).$$ Concluimos que $\mathcal{H}^s_\delta(U)=\mathcal{H}^s_\delta(\overline{U})=\mathcal{H}^s_\delta(\partial U)=\delta^s$. En particular, $\mathcal{H}^s_\delta$ no es aditiva en $\overline{U}=U\cup \partial U.

---

La forma en que lo veo, este desagradable fenómeno ocurre porque aquí $U, \overline{U}$ y $\partial U$ se permiten ser coberturas de sí mismos. Es por eso que la construcción de Caratheodory implica tomar un límite a medida que $\delta\to 0$, es decir, a medida que la malla de las coberturas se vuelve más fina. Esto evita que el fenómeno presente ocurra.