Si$e^{i\theta}=e^{i\varphi}$, entonces$\theta-\varphi=2k\pi$

Question

Esto es bastante fácil, creo, pero estoy teniendo un momento difícil tratando de probar esto en una forma satisfactoria para mí. Estoy tratando de mostrar que $$e^{i\theta}=e^{i\varphi} \Rightarrow \theta-\varphi=2k\pi,\, \text{ for some $k \in \mathbb{Z}$.}$$ Sé $e^{i\theta}=e^{i\varphi}$ implica $$\cos(\theta)=\cos(\varphi) \text{ and }\sin(\theta)=\sin(\varphi).\qquad (1)$$ An argument that I thought of but want to avoid if I can, is arguing along the lines of saying: Say $\theta$ is in quadrant $I$, then necessarily, $\varphi$ is then in quadrant $I$ or quadrant $IV$. If $\varphi$ is in quadrant $I$, then we're done. If $\varphi$ is in quadrant $IV$ then $\sin(\varphi)<0$ but $\sin(\theta)>0$ (here assuming $\sin(\theta)>0$ para dar idea detrás de razonamiento), una contradicción, por lo que estaría hecho. Luego, la instalación de esta a los diferentes casos o haciendo el mismo tipo de razonamiento.

Tenía la esperanza de obtener algún tipo de ecuación algebraica de $(1)$ y a partir de ahí deducir necesariamente que $\varphi-\theta=2k\pi$.

Answer 1

Comenzando con$e^{i \theta}=e^{i \psi}$, multiplique ambos lados por$e^{-i \psi}$ para obtener$e^{i \theta}e^{-i \psi}=1$. El uso de reglas de exponentes significa$e^{i( \theta - \psi)}=1$. Ahora, aplicar la identidad de Euler al exponente significa$cos(\theta - \psi)+isin(\theta - \psi)=1$. Como el RHS no tiene ningún componente imaginario, se deduce que$isin(\theta - \psi)=0$, que ocurre precisamente cuando$\theta - \psi=k \pi$ (cualquier número entero múltiplo de$\pi$). Esto deja$cos(\theta - \psi)=1$, lo cual es verdadero solo cuando el argumento dentro del coseno es un múltiplo par de$\pi$. Por lo tanto,$\theta - \psi = 2k \pi$.