Dogmas y Matemáticas

Question

¿Cuáles son los dogmas que restringen o promueven el desarrollo de las matemáticas?

Sé que un dogma es un conjunto de creencias que es aceptado por los miembros de un grupo sin ser cuestionado o dudado. Sin embargo, los dogmas suelen ser religiosos, y es aquí donde estoy atascado. ¿Debería buscar dogmas religiosos que afecten a las matemáticas, o debería buscar los dogmas (axiomas) de las matemáticas?

Answer 1

Dado que la OP mencionó en un comentario que su curso se encuentra actualmente a finales del siglo XVI, me gustaría mencionar una cuestión relacionada con Simon Stevin (1548 - 1620). Stevin promovió la idea de que cada número es representable por medio de una representación decimal interminable, ya sea racional o irracional (otros términos utilizados en esa época eran surds, etc.). De esta forma, se puede decir que fue el fundador del sistema de números reales (o quizás el sistema de números de Stevin). Hay una creencia común (no estoy seguro de que esto califique como un dogma) de que este sistema de números sólo se construyó alrededor de 1870. A artículo reciente argumenta que Stevin merece más crédito como pionero del sistema de números comunes.

En términos generales, el término dogma está cargada emocionalmente e implica hasta cierto punto una desaprobación, especialmente cuando se habla de un esfuerzo científico que se supone que está libre de preconceptos. Si se entiende como un conjunto de Supuestos ya sea explícita o implícita, entonces se puede hablar de manera significativa de tal fenómeno en el contexto de una empresa científica.

Una de estas suposiciones es la idea de que la evolución de las matemáticas tiene un cierto resultado predeterminado. Esto se relaciona con las opiniones platónicas que comúnmente se sostienen en la comunidad. En el contexto de la evolución del análisis, por ejemplo, la suposición es que dicho resultado es el marco desarrollado por el "gran triunvirato" (como dijo el historiador Boyer) de Cantor, Dedekind y Weierstrass, que implica un campo de escalares de Arquímedes, con el fondo de ZFC (véase, por ejemplo, la respuesta de John Bentin). En un artículo reciente se argumentaba en contra de ese curso predeterminado, llamado la vía A ("A" por Arquímedes), y se esbozaba una vía paralela, la vía B ("B" por Bernoulli), que implicaba un continuo infinitesimal enriquecido en el que se podía argumentar que se basaban Leibniz, Euler, Cauchy y otros. Véase ¿La historia matemática está escrita por los vencedores?

La pista paralela (aunque no la terminología B) fue evocada en el famoso libro de Felix Klein "Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado", así como por el historiador H. Bos en su trabajo seminal sobre Leibniz que se puede encontrar aquí .

Answer 2

El principal dogma de las matemáticas es que lo que es aceptable debe ser verdad demostrable, es decir, debe ser probado. Cualquier afirmación, no importa cuán plausible sea, que no haya sido probada tiene el estatus inferior de ser una conjetura . Exactamente lo que constituye una prueba evoluciona con el tiempo. Esta evolución es lenta: por ejemplo, la mayoría de las pruebas de hace 100 años serían bastante aceptables hoy en día. El sistema actual de axiomas para las matemáticas, que es aceptado por la mayoría de los matemáticos, es el ZFC, que combina los sistemas de Zermelo y Fraenkel con el axioma de elección. Así que cada afirmación aceptada en el cuerpo principal de las matemáticas debe, al menos en última instancia y en principio, ser deducible de los axiomas del ZFC. (Podría decirse que hay algunas excepciones en las fronteras de la investigación en matemáticas).