En Singular Points of Complex Hypersurfaces, Milnor demuestra que si $f: \mathbb{C}^{n+1} \rightarrow \mathbb{C}$ , holomorfo, tiene un aislado en el origen, entonces $f^{-1}(\epsilon) \cap B^{2n+2}_\delta$ que es una variedad lisa, tiene el tipo de homotopía de una cuña de n-esferas para una cantidad suficientemente pequeña de $\delta$ el número de esferas es el número de Milnor de la singularidad y la f es suave si y sólo si $f^{-1}(\epsilon) \cap B^{2n+2}_\delta$ es difeomorfo $B^{2n}_\delta$ .
Me pregunto cuál es la topología de las variedades afines más generales con singularidades aisladas. Más concretamente, consideremos $f_i: \mathbb{C}^{n+1} \rightarrow \mathbb{C}, 1\le i \le k$ holomorfo para algún $k < n$ tal que la matriz jacobiana $\partial f_i /\partial x_j$ tiene rango completo en todas partes en una pequeña vecindad del origen, excepto en el origen. Sea $V = \{f_i = \epsilon \mbox{ all i} \} \cap B^{2n+2}_\delta$ que es un colector suave. ¿Qué se puede decir sobre el tipo de homotopía de $V$ ? ¿Puede alguien dar ejemplos de $V$ con una topología interesante cuando $k > 1$ ?
Pensé que había demostrado que para $k > 1$ , $V$ es siempre difeomorfo a $B^{2n}$ pero esto parece extremadamente sospechoso. Se agradecerían mucho los contraejemplos.
