Integral definida que implica un cuadrado y una raíz cúbica

Question

Tengo la siguiente integral para resolver$$\int_0^1 \left(\sqrt{1-x^3}-\sqrt[3]{1-x^2}\right) \, dx.

Intenté las sustituciones$u=x^2$,$u=x^3$,$u=\sqrt{1-x^3}$ y$u=\sqrt[3]{1-x^2}$, pero la integral se simplificaría. Cualquier sugerencia, cómo abordar la integral es bienvenido (¿quizás debería intentar la integración por partes?).

Answer 1

Aquí es informal argumento:

La primera nota que su integral es de la forma $\int_0^1 f(x)-f^{-1}(x)\,dx$ donde $f$ es una función decreciente con $f(0)=1$, $f(1)=0$, y $f^{-1}$ es la inversa de a $f$.

Entonces

• $\int_0^1 f(x)\,dx$ es el área de la región acotada arriba por la gráfica de $f$ en el intervalo de $0\le x\le 1$;

y, observando que la gráfica de la ecuación de $x=f^{-1}(y)$ es, precisamente, la gráfica de la ecuación de $y=f(x)$,

• $\int_0^1 f^{-1}(y)\,dy$ es el área de la región delimitada a la derecha por la gráfico de $f$, por debajo del intervalo de $0\le x\le 1$, y a la izquierda por el intervalo de $0\le y\le1$.

Las dos regiones mencionadas coinciden; por lo tanto, tenemos $\int_0^1 f(x)\,dx =\int_0^1 f^{-1}(x)\,dx$.

Y así, $\int_0^1 f(x)-f^{-1}(x)\,dx=0$.

Answer 2

Puede usar dos sustituciones y una integración por partes para probar que $$\begin{equation*} I=\int_{0}^{1}\sqrt[3]{1-x^{2}}dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{3}}dx=J. \end {ecuación *}$$ Comenzando con$I$ realiza la sustitución$t=1-x^{2}$ para obtener $$\begin{equation*} I=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[3]{t}}{2\sqrt{1-t}}dt. \end {ecuación *}$$ Ahora integre por partes eligiendo los factores$u(t)=\sqrt[3]{t}$ y$v'(t)=\frac{1}{2\sqrt{1-t}}$ $$\begin{eqnarray*} I &=&\left. \sqrt[3]{t}\left( -\sqrt{1-t}\right) \right\vert _{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{3\sqrt[3]{t^{2}}}\left( -\sqrt{1-t}\right) \,dt =\int_{0}^{1}\frac{1}{3\sqrt[3]{t^{2}}}\sqrt{1-t}\,dt. \end {eqnarray *}$$ Finalmente use la sustitución$t=v^{3}$ $$\begin{equation*} I=\int_{0}^{1}\sqrt{1-v^{3}}\,dv=J. \end {ecuación *}$$