$\Omega$ es un conjunto abierto convexo en$\mathbb {C^n}$ y$f$ es una función analítica. Edición: sin punto cero en$\Omega$ , entonces podemos definir una rama analítica de$\ln {f}$ en $\Omega$ ?
Respuestas
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Me complace informar de que, sí, se puede definir $\log f$, incluso en mucho mayor generalidad que en su situación.
Es decir, si usted tiene una verdadera variedad diferenciable $M$ y una función de $f\in \mathcal C^\infty (M)$ nunca cero en $M$, $f$ $\mathcal C^\infty $ logaritmo
tan pronto como la primera De Rham cohomology grupo de $M$ desaparece: $H^1_{DR}(M, \mathbb R)=0$.
La definición del logaritmo es sencillo: fijar un punto de $x_0\in M$ y definen $$(\log f)(x)= \int_\gamma \frac {df}{f} $$
donde $\gamma$ es un camino diferenciable de unirse a $x_0$$x$, a lo largo de la cual podemos integrar el cerrado $1$forma $\frac {dg}{g}$.
La fuga cohomology hipótesis asegura que el valor de $\log f$$x$, que no depende de la ruta de $\gamma$ elegido.
Si $M$ pasa a ser un complejo de holomorphic colector y si $f\in \mathcal O(M)$ es holomorphic, entonces el logaritmo de $f$ automáticamente holomorphic: $\log f\in \mathcal O(M)$.
Esto se aplica a su caso, ya que una simple conectado el colector -y , a fortiori, un conjunto convexo en un espacio vectorial - tiene cero primero De Rham cohomology grupo.
Finalmente, sólo por los viejos tiempos", permítanme resumir esto en el lenguaje de la física clásica :
$$\text{Every conservative vector field has a potential}$$
Una variante de
Especialistas en el complejo de los colectores son adictos a la secuencia exacta de las poleas en el complejo colector de $X$:
$$0\to 2i\pi \mathbb Z\to \mathcal O_X \stackrel {exp}{\to} \mathcal O^\ast_X \to 0 $$
Una parte de los asociados cohomology largo de la secuencia exacta es
$$ \Gamma(X,\mathcal O_X) \stackrel {exp}{\to} \Gamma(X,\mathcal O^\ast_X) \to H^1(X,\mathbb Z) $$
lo que muestra una vez más que cada nada de fuga holomorphic de la función en $X$ es una exponencial (en otras palabras: tiene un logaritmo) tan pronto como $H^1(X,\mathbb Z)=0$.
Grzenio
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Edit: leí mal la pregunta y sólo por el caso de $n=1$.
Si usted permite que la función de $f$ raíces, entonces la respuesta es claramente no. No hay ninguna analítica rama del logaritmo de $z$ en cualquier barrio de $0$.
Si se excluye a las raíces, la respuesta es sí.
De manera más general:
Deje $f: G \to \mathbb{C}$ ser holomorphic con $0 \notin f(G)$ y asumir que $G$ es simplemente conectado dominio (en particular, $G$ convexo es suficiente). A continuación, $f$ tiene un holomorphic logaritmo $g: G \to \mathbb{C}$ $f(z) = e^{g(z)}$ todos los $z \in G$.
Fix $z_0 \in G$ arbitrariamente, elija $g(z_0)$ de tal manera que $f(z_0) = \exp{g(z_0)}$ y poner $g(z) = g(z_0) + \int_{z_0}^{z} \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw$. Compruebe que $g$ está bien definido, holomorphic, y que $\frac{d}{dz} [f \cdot e^{-g}] = 0$, por lo tanto $f = e^g$.
