Tal vez esto podría aliviar algunas de las molestias.
Suavizado De Acción
Hay muchas maneras en que la convolución es útil en matemáticas. Primero de todo, como usted ha señalado,
$$
\mathrm{D}^\alpha\left(f\ast g\right)=\left(\mathrm{D}^\alpha f\right)\ast g\etiqueta{1}
$$
Esto es simplemente repite los cambios de la orden de integración y diferenciación:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int f(x-t)\,g(t)\,\mathrm{d}t=\int f'(x-t)\,g(t)\,\mathrm{d}t\etiqueta{2}
$$
Este paso puede ser justificado en diferentes formas, dependiendo del contexto. Por ejemplo, si el límite que define la derivada de la $f$,
$$
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\etiqueta{3}
$$
converge uniformemente, a continuación, $(2)$ es válida para todas las $g\in L^1$.
Convolución combina la suavidad de dos funciones. Es decir, si ambos $f$$g$, y sus primeras derivadas en $L^1$, entonces la segunda derivada de su convolución es en $L^1$. Esto es debido a que $f\ast g = g\ast f$, y por lo que podemos utilizar $(2)$ dos veces para obtener
$$
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}(f\ast g)=f'\ast g'\etiqueta{4}
$$
El Análisis De Fourier
Convolución juega un papel importante en el Análisis de Fourier. La clave fórmulas demostrar la dualidad entre la convolución y la multiplicación:
$$
\mathscr{F}(f\ast g)=\mathscr{F}(f)\mathscr{F}(g)\quad\text{and}\quad\mathscr{F}(fg)=\mathscr{F}(f)\ast\mathscr{F}(g)\tag{5}
$$
También existe una dualidad entre la caries $\infty$ y suavidad. Esencialmente, un derivado de la suavidad de $f$ corresponde a un factor de $1/x$ en la descomposición de la $\mathscr{F}(f)$, y viceversa.
El producto de descomposición de funciones decae aún más rápido; por ejemplo,$x^{-n}x^{-m}=x^{-(n+m)}$. La dualidad demostrado en $(5)$ dice que la convolución de las funciones lisas es aún más suave.
La de Riemann-Lebesgue Lema dice que para $f\in L^1$,
$$
\lim_{|x|\to\infty}\mathscr{F}(f)(x)=0\etiqueta{6}
$$
Sin embargo, esto es simplemente caries sin cuantificación. Acerca de todo lo que puede decirse acerca de $f,g\in L^1$ es que el $f\ast g\in L^1$. Sin embargo, si $f,g\in L^2$, $f\ast g$ es continua.
Suma De Los Dados
Quizás uno de los primeros usos de la convolución fue en la probabilidad. Si $f_n(k)$ es el número de maneras de rodar una $k$ $n$ a los seis caras de los dados, entonces
$$
f_n(k)=\sum_jf_{n-1}(k-j)f_1(j)\etiqueta{7}
$$
Es decir, para cada forma de lograr la $k$ $n$ dados, debemos tener $k-j$ $n-1$ dados y $j$, en el resto de morir. La ecuación de $(7)$ representa la convolución discreta.
La función de distribución para el despliegue de una sola de seis caras morir se distribuye uniformemente entre los $6$ posibilidades. Esto ha discontinuidades en $1$ y $6$ ($n=1$). La función de distribución de la suma de dos de seis caras de los dados es la convolución de dos de los morirse de distribuciones. Este es continua, pero no liso ($n=2$). La función de distribución de la suma de tres de seis caras de los dados es la convolución de un dado y dos dados distribuciones. Este es liso ($n=3$). Para cada uno de los troqueles que añadir, nos convolución uno más de los que uno muere distribuciones y se obtiene la función más suave.
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Como $n\to\infty$, la distribución se aproxima a una versión a escala de la distribución normal: $\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$.
