Sobre la convergencia en probabilidad infinitamente a menudo.

Question

Estoy confundido acerca de la distinción entre estos dos modos de convergencia.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty }P(|X_n - X| > \epsilon) \rightarrow 0 $$

$$ P(|X_n - X| > \epsilon\ \text{ i.o }) = 0 $$

No es el primer modo de convergencia (en probabilidad) implica la segunda? Pero al parecer parece que el segundo es más fuerte. Quizá mi interpretación de "infinitamente a menudo" es incorrecta. Un ejemplo de cada uno sería de gran ayuda.

Answer 1

Definir el evento: $$A_n:=\left\{ω\, :\, |X_n(ω)-X(ω)|>ε\right\}$$ Then, by definition $$ω \in A_n \,\,\text{i.o.} \iff ω \in \limsup_{n\to\infty}A_n$$ Using this notation your question can be written as (note the questionmark) $$\lim_{n\to \infty} P(A_n)=0 \overset{?}\implies P(\limsup_{n\to\infty}A_n)=0$$ The answer is no, an example is already given in the comments. The first Borel-Cantelli lemma gives a sufficient (but not necessary) condition for this to hold. However, the following implication is true $$\lim_{n\to \infty} P(A_n)>0 \implies P(\limsup_{n\to\infty}A_n)>0$$ or in other words, if they random variables $X_n$ no convergen en probabilidad de que no convergen en el segundo modo (condición necesaria pero no suficiente).