Probabilidad de que una ecuación cuadrática con coeficientes aleatorios tenga raíces reales

Question

Considera las ecuaciones cuadráticas $Ax^2 + Bx + C = 0,$ en el que $A, B,$ y $C$ son distribuidos de forma independiente $Unif(0,1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que las raíces de dicha ecuación sean reales? Este problema es del capítulo 3 de Rice: Mathematical Statistics and Data Analysis (edicionesa 1 a 3). Hasta las últimas ediciones de la 3e, se daba la respuesta incorrecta 1/9 para este problema.

Sin embargo, Horton (2015) http://www3.amherst.edu/~nhorton/precursores/precursores.pdf señala que la respuesta correcta es ligeramente superior a 1/4, como puede comprobarse con una simple simulación. (Horton y sus colegas se ocupan de los elementos de un plan de estudios de grado para preparar a los estudiantes de ciencias matemáticas a enfrentarse a la ciencia de datos moderna).

En un entorno algo más práctico, se podría considerar una versión discreta de este problema. Un programa que produce problemas de perforación aleatoria sobre ecuaciones cuadráticas $Ax^2 + Bx + C = 0,$ selecciona valores para $A, B,$ y $C$ al azar y de forma independiente entre los diez valores igualmente probables $0.1, 0.2, \dots, 1.0.$ ¿Qué proporción de estas ecuaciones tienen raíces reales? ¿Y qué proporción tiene una sola raíz?

La respuesta inicial esboza la solución analítica exacta del problema original y muestra los resultados numéricos y gráficos de la simulación. También se muestra un resultado simulado para la versión discreta.

Son bienvenidas las respuestas adicionales que utilicen otros métodos o que discutan temas relacionados.

Answer 1

Si $B$ se distribuye uniformemente sobre $[0,1]$ y $X=B^2$ el pdf de $X$ se puede calcular a través de:

$$\mathbb{P}[X\leq t] = \mathbb{P}[B\leq\sqrt{t}],$$ de la cual $f_X(x)=\frac{\mathbb{1}_{(0,1)}(x)}{2\sqrt{x}}$ . De forma similar, si $A,C$ se distribuyen uniformemente sobre $(0,1)$ , independiente, y $Y=AC$ , $$\mathbb{P}[Y\leq t]=\int_{0}^{1}\mathbb{P}\left[C\leq\frac{t}{u}\right]\,du=\int_{0}^{1}\min\left(1,\frac{t}{u}\right)\,du=t-t\log(t)$$ por lo que $f_Y(y) = -\mathbb{1}_{(0,1)}(y)\cdot\log(y)$ . De ello se deduce que:

$$\mathbb{P}[B^2\geq 4AC] = \int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{x}}\int_{0}^{x/4}-\log(y)\,dy\,dx =\color{red}{\frac{5+6\log 2}{36}\approx 25,44\%}.$$

Answer 2

Esquema de la solución analítica. Una solución analítica se basa en observar que la densidad de $Q = B^2$ es $f(q) = \frac{1}{2\sqrt{q}},$ para $q \in (0,1),$ la densidad de $X = 4AC$ es $g(x) = \frac{-\log(x/4)}{4},$ para $x \in (0,4).$

Una doble integración adecuada de la densidad conjunta $h(q, x) = f(q)g(x)$ da $P(\text{Real Roots}) = P(Q > X) = \frac{5 + \log(64)}{36} = 0.254413.$ Nota: Los detalles de la integración se muestran en Horton (2015) referenciado en la pregunta, y en una respuesta posterior].

Simulación. A continuación se muestra una simulación basada en un millón de ecuaciones simuladas.

 m = 10^6
 a = runif(m);  b = runif(m);  c = runif(m) 
 q = b^2;  x = 4*a*c
 d = q - x    # discriminant
 real = (d > 0)
 mean(real)
 ## 0.254302  # approximates analytic result

La siguiente figura se basa en 30.000 ecuaciones simuladas. Histogramas de los valores simulados de $Q$ y $X$ muestran las curvas de densidad teóricas. Las líneas marrones en el gráfico de dispersión y el histograma de valores del discriminante $D\,$ separar las ecuaciones con soluciones reales (azul) y complejas.

Versión discreta alternativa. La siguiente simulación de la versión discreta del problema muestra que algo más del 20% de las ecuaciones cuadráticas generadas por el ordenador tienen raíces reales.

 m = 10^6;  val=seq(.1, 1.0, by=.1)
 a = sample(val,m,rep=T)
 b = sample(val, m, rep=T)
 c = sample(val, m, rep=T)
 q = b^2;  x = 4*a*c
 d = q - x    # discriminant
 real = (d > 0)
 mean(real)
 ## 0.206176
 single = (d == 0)
 mean(single)
 ## 0.007964

El resultado final sugiere que ocho de las 1000 ecuaciones posibles tienen una sola raíz. No es difícil ver que el discriminante sólo puede ser cero si $B = .2, .4, .8,$ o $1.0$ . A partir de ahí, la aritmética simple muestra que hay efectivamente ocho combinaciones posibles de valores de $A$ y $C$ que producen $D = 0.$

Una solución analítica completa de la versión discreta parece implicar una tediosa contabilidad, empezando por los diez valores posibles de $B^2.$ Tal vez haya una forma inteligente de obtener una solución analítica exacta utilizando convoluciones de distribuciones discretas en Matlab.

Answer 3

Alguien preguntó casi esto hace unos días. Quería señalar que un cubo no es la forma más natural a considerar para este problema, aunque fue la elegida. Es mejor, en cierto modo, considerar la bola $A^2 + B^2 + C^2 \leq R^2.$ En ese caso tomamos las coordenadas rotadas $$u = B; v = (A - C)/ \sqrt 2; w = (A + C)/ \sqrt 2.$$

Entonces la condición $B^2 \geq 4AC$ se convierte en $u^2 + 2 v^2 \geq 2 w^2.$ En este caso es indiferente que utilicemos el volumen o la superficie, por lo que pedimos la superficie total de las dos peculiares manchas elípticas $u^2 + 2 v^2 \geq 2 w^2$ en la esfera $u^2 + v^2 + w^2 = 1,$ dividido por $4 \pi.$ Pensándolo bien, la cifra que queremos es una menos esta, la divertida región anular.

No estoy seguro de saber cómo calcular esto.