Esfera en la parte superior de un cono. Volumen máximo?

Question

He recibido un interesante problema que no puedo entender cómo resolver. De la siguiente manera: Un helado tiene la forma de una esfera y un cono como la imagen de abajo. ¿Cuál es el volumen máximo que la esfera puede ocupar de el cono? Tenga en cuenta que $M$ es el centro de la esfera, no en el centro del círculo de la base del cono. Espero que entiendan mi fraseo.

Una reformulación de la declaración del problema sería, creo yo: Dicen que usted tiene un arbitrario de cono, y se va a colocar una esfera con radio de $r$, ¿cuál es el volumen máximo del cono de la esfera puede ocupar, siempre que alguna parte de la esfera de la gorra se le permite estar por encima de la circular de cono de base?

Este es mi dibujo del problema:

Intento hasta ahora: sé que $\bigtriangleup AEM\sim\bigtriangleup ACG$. Denotar $AM=x$, $GH=h$, a continuación, $GM=h-r.$ Por el Pythagoran teorema sobre la $\bigtriangleup ACG$ me sale que

$$AC=\sqrt{(x+h-r)^2+R^2}.$$

Desde $R/AC=k$ es una constante, por semejanza de triángulos puedo obtener

$$\frac{r}{x}=\frac{R}{AC}=k \Leftrightarrow r=kx$$

El volumen del cono es

$$V_{cone}=\frac{R^2\pi(x+h-r)}{3}=\frac{R^2\pi(x+h-kx)}{3}.$$

Usando la fórmula de un casquete esférico, me sale que el volumen de la esfera que está por debajo del cono de base es

$$V_{s.cap}=\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}.$$

Por tanto la relación es

$$f(x)=\frac{V_{s.cap}}{V_{cone}}=\frac{\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}}{\frac{R^2\pi(x+h-kx)}{3}} = \frac{h^2(3r-h)}{R^2(h+(1-k)x)}.$$

Pero esto no funciona.

Answer 1

Supongamos primero de todos, el cono está dada, con radio de la base $R$ y la altura de la $H$, y el conjunto de $x=r/R$, $t=H/R$.

Por semejanza de triángulos tenemos $\displaystyle MA={r\over R}AC={r\over R}\sqrt{R^2+H^2}=r\sqrt{1+t^2}$ y la altura de la $h$ del casquete esférico dentro del cono puede entonces escribirse como $$h=r+H-MA=H-r\left(\sqrt{1+t^2}-1\right).$$ Aviso que esto tiene sentido siempre como $0\le h\le 2r$, lo que implica: $${\sqrt{1+t^2}-1\sobre t}\le x \le {\sqrt{1+t^2}+1\sobre t}.$$

La relación entre el volumen del casquete esférico en el interior del cono y el volumen del cono puede entonces escribirse como: $$f(x)=\frac{V_{s.cap}}{V_{cono}}= \frac{h^2(3r-h)}{R^2H} ={1\over t}\left(t+x-x\sqrt{1+t^2}\right)^2\left(2x-t+x\sqrt{1+t^2}\right),$$ donde $t$ es fijo e $x$ puede variar entre los límites indicados anteriormente.

Mediante la diferenciación de esto resulta que $f(x)$ tiene dos puntos estacionarios: un mínimo local en a $x={\sqrt{1+t^2}+1\over t}$ (que es el límite superior de $x$) y un máximo local en $$x_\max={t\sqrt{1+t^2}\\sqrt{1+t^2}-1+t^2},$$ el cual está dentro del rango permitido para $x$. Conectando a $f(x)$ podemos encontrar la máxima relación de volumen de $f_\max$ como una función de la $t$: $$f_\max(t)=\frac{4 \left(\sqrt{t^2+1}(1+t^2)-3t^2+1\right)} {\left(t^2-3\right)^2}.$$ Por diferenciar uno encuentra $$f'_\max(t)=-{4t\\big(2+\sqrt{1+t^2}\big)^3},$$ cual es negativo para $t>0$. De ello se desprende que $f_\max(t)$ es monótonamente decreciente de la función de $t>0$, lo que $$f_\max(t)<f_\max(0)={8\más9}, \quad\hbox{para $t>0$}.$$ Pero, por supuesto, $t=0$ es un caso de degeneración, porque ambos volúmenes se desvanecen como $t\to0$. Por lo tanto, este valor máximo debe ser considerado como un caso límite: la relación $V_{s.cap}/V_{cone}$ nunca puede llegar a $8/9$, pero puede ser tan cercano a él como uno quiere.

Answer 2

Deje $x$ ser la distancia $AM,$ inicialmente desconocido. Mediante el examen de las dimensiones del cono (como se sugiere en los comentarios) usted puede determinar la constante relación de $k = EM/AM = r/x,$ donde $r$ es el radio de la esfera. A continuación, $r = kx.$

La porción de la esfera dentro del cono es un casquete esférico (definido como la parte de la esfera sobre un lado de un plano, en este caso, la parte por debajo del plano de la base del cono). Este casquete esférico tiene un alto $h$ (la distancia desde la parte inferior de la la esfera de la base del cono); de hecho, $h$ es la suma de la esfera de radio de $r$ más de la distancia de $M$ hacia arriba, a la base del cono. (Si $M$ está por encima de la base del cono, a continuación, la distancia "hacia arriba" de $M$ la base es negativa.)

Si pones a todos en conjunto, en sustitución de $r$ con los múltiples apropiado de $x,$ usted debería ser capaz de escribir una ecuación de la forma $h = px + q.$

Ahora usted puede utilizar una de las fórmulas para el volumen de un casquete esférico; en particular, esta fórmula debe ser una buena: $$V = \frac13\pi h^2(3r - h).$$

Desde $r=kx$ $h = px+ q,$ conectar estos valores podemos reescribir $\frac13\pi h^2(3r - h)$ como una expresión en la que el sólo el valor desconocido es $x.$ Que la expresión será un polinomio cúbico.

A continuación, puede aplicar la costumbre de una sola variable cálculo de enfoque para maximizar el valor de una función. Es decir, para encontrar el volumen máximo $V,$ tomar la derivada del polinomio (que es una ecuación cuadrática en $x$) y póngalo a cero. El volumen máximo se produce en un valor de $x$ para que el derivado de que el volumen es cero o en el mínimo o el máximo posible valor de $x$ (en este caso, $x=0$ o $x$ tan grande que el la esfera es sólo tangente al cono en el círculo alrededor de la base del cono).

Edit: he cambiado el símbolo de la esfera de radio de $R$ $r$a de ser coherente con los comentarios.

Answer 3

Si el cono (rim radio de $R$, ángulo de apertura $2\theta$) se da no hay un máximo de problema a resolver. Cualquier bola de radio $r\geq R$ va a sentarse en el borde de la llanta, y el más grande de su radio de $r$, la mayor parte del volumen de la bola está fuera del cono. Si usted insistir en que la pelota es tangente al cono en el borde no hay ningún problema de optimización de la izquierda. Simplemente calcular la resultante de la relación de volumen de su elección, dado el ángulo de apertura $2\theta$. Si usted permite que la bola toque el cono por debajo del borde, entonces siempre se puede recortar el cono (o $r$ más), de tal manera que la relación que usted está mirando (sin embargo es definida) se hace más grande.

Todo esto es para mostrar que no has configurado un claro problema.

Answer 4

Sugerencia:Se puede estudiar el problema en 2D y seguirá siendo el mismo .también en el fin de proceder y la ayuda que necesita para especificar exactamente y de manera muy precisa lo que se sabe y lo que desea encontrar, por ejemplo, 1) es el radio de la esfera constante ,2) cuando dices arbitraria de cono que significa que la CABINA cambios de ángulo (si no lo es, entonces Cristiano Blatter es la derecha la posición es sólo uno y por lo tanto el volumen de la esfera interior del cono de no cambiar )