Cuando se $R \, A^{-1} \, R^t$ invertible?

Question

En el contexto de un modelo Gaussiano, me llegó a través de una matriz de producto $R \, A^{-1} \, R^t$ donde $R$ $m \times n$ matriz rectangular y como implícita $A$ $n \times n$ e invertible.

En el que las propiedades de $R$ la existencia de $(R \, A^{-1} \, R^t)^{-1}$ dependen?

Answer 1

En primer lugar, si $m=n$ $R$ es invertible, entonces a $RA^{-1}R^T$ es invertible así.

En segundo lugar, si $A$ es además simétrica y positiva definida en el rango de $R$, $RA^{-1}R^T$ es invertible si $R$ rango $m$. En realidad, en este caso $RA^{-1}R^T$ es simétrica y positiva definida así.

Esto no funciona sin la certeza de $A$: $$R=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}, \quad Un^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 &0\end{pmatrix}, \quad RA^{-1}R^T = 0,$$ que proporciona un ejemplo, donde $R$ tiene rango completo, sino $RA^{-1}R^T$ no es invertible.