Intuitivamente, ¿por qué la gaussiana es la transformada de Fourier de sí misma?

Question

Es un ejercicio estándar encontrar la transformada de Fourier de la gaussiana $e^{-x^2}$ y demostrar que es igual a sí mismo. Aunque es computacionalmente sencillo, esto siempre me ha sorprendido. Mi intuición para la gaussiana es como integrante de las distribuciones normales, y mi intuición para las transformadas de Fourier es como medio para extraer frecuencias de una función. No parecen estar relacionadas, salvo por el uso de la función exponencial.

¿Cómo debo entender esta propiedad de la gaussiana, o en general, de las funciones propias de la transformada de Fourier? Los polinomios de Hermite son funciones propias de la transformada de Fourier y desempeñan un papel fundamental en la probabilidad. ¿Es éste un ejemplo de una conexión más profunda entre la probabilidad y el análisis armónico?

Answer 1

La generalización de este fenómeno, desde un punto de vista probabilístico, es el caos polinómico de Wiener-Askey.

En general, existe una conexión entre las familias de polinomios ortogonales en el esquema Askey y las funciones de distribución de probabilidad/masa.

La ortogonalidad de estos polinomios puede demostrarse en un espacio de producto interno utilizando una función de ponderación - una función de ponderación que normalmente resulta ser, dentro de un factor de escala, la pdf/pmf de alguna distribución.

En otras palabras, podemos utilizar estos polinomios ortogonales como base para una expansión en serie de una variable aleatoria:

$$z = \sum_{i=0}^\infty z_i \Phi_i(\zeta).$$

La variable aleatoria $\zeta$ pertenece a una distribución que elegimos, y la familia de polinomios ortogonales a la que $\Phi$ se desprende de esta elección.

El determinista coeficientes $z_i$ puede calcularse fácilmente utilizando el método de Galerkin.

Así que, sí. Existe una relación muy profunda en este sentido, y es extremadamente poderosa, sobre todo en aplicaciones de ingeniería. Curiosamente, ¡muchos matemáticos no conocen esta relación!

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Véase también: http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=ADA460654 y el Teorema de Cameron-Martin.

Answer 2

Hay una razón sencilla por la que al tomar una transformada de Fourier de una función de tipo gaussiano se obtiene otra función de tipo gaussiano. Consideremos la propiedad $$\mathcal{T}[f^\prime](\xi) \propto \xi \hat{f}(\xi)$$ de una transformación $\mathcal{T}$ . Llamaremos a una transformación invertible $\mathcal{F}$ "Fourier-like" si tanto ella como su inversa tienen esta propiedad.

Definir una función "gaussiana" como una función con la forma $$f(x) = A e^{a x^2}.$$ Las funciones con esta forma satisfacen $$f^\prime(x) \propto x f(x).$$ Tomando una transformada de Fourier de cada uno de los lados se obtiene $$\xi \hat{f}(\xi) \propto \hat{f}^\prime(\xi).$$ Ésta tiene la misma forma que la ecuación anterior, por lo que no es de extrañar que sus soluciones tengan la forma gaussiana $$\hat{f}(\xi) = B e^{b \xi^2}.$$

Answer 3

Además de un punto de vista probabilístico, se puede visualizar el comportamiento de la transformación de la gaussiana mediante el Distribución delta de Dirac : Su transformada de Fourier es $$(\mathcal{F}\delta)(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}},$$ lo que significa que el delta de Dirac contiene todo frecuencias de la misma amplitud (y lo que me parece intuitivamente correcto). Ya que en el sentido de la distribución $$\delta(x)=\lim_{\alpha\to 0}\frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}}e^{-x^2/\alpha^2},$$ informalmente el delta de Dirac es una gaussiana "infinitamente estrecha". Por lo tanto, si la gaussiana se ensancha, se contienen menos frecuencias hasta que la distribución de frecuencias vuelve a ser una gaussiana (y también en el otro sentido).