cómo integrar esta $\int_0^{\infty} r^2 e^{\frac{-r^2}{2}} \, dr$?

Question

¿Qué estoy haciendo mal a la hora de integrar este? $$\int_0^{\infty} r^2 e^{\frac{-r^2}{2}} \, dr$$ He utilizado integración por partes y establecer $u=r^2$ $dv=e^{\frac{-r^2}{2}}dr$ y me sale $$-re^{\frac{-r^2}{2}}+\frac{2e^{\frac{-r^2}{2}}}{-r} \Bigg|_0^{\infty}$$ pero cuando la conecto en los límites llego $(0-0)-(0-\text{undefined})$? La respuesta clave de la muestra $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ e incluso me registré en wolfram y consiguió $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

¿Qué hice mal?

Answer 1

Su elección de $dv$ es poco probable que funcione, ya que la integral de dicha función no tiene una escuela primaria de expresión - casi seguramente un error en su cálculo aquí.

En lugar, intente $u = r$$dv = r e^{-r^2/2}$. Esto conduce a $v = -e^{-r^2/2}$, y

$$-re^{-r^2/2}\big|_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-r^2/2} dr$$

Esta última integral se puede calcular de diversas maneras (por ejemplo, coordenadas polares), y es conocido por ser $\sqrt{\pi/2}$. Un buen término de búsqueda es "Gaussiano integral."

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Vale la pena mencionar que la función de $r^2 e^{-r^2/2}$ no tiene primaria antiderivada, sino que debe ser expresado en términos de la función de error (que sólo se pone la integral de Gauss debajo de la alfombra).

Answer 2

Aviso, vamos a $\frac{\Large r^2}{\Large 2}=t\implies $ $r\ dr=dt$, por lo tanto, uno debe tener $$\int_{0}^{\infty}r^2e^{-\large \frac{r^2}{2}}\ dr=\int_{0}^{\infty}\sqrt{2t}\ e^{-t}\ dt$$ $$=\sqrt{2}\int_{0}^{\infty}t^{1/2}\ e^{-t}\ dt$$ Ahora, utilizando la transformada de Laplace $\int_{0}^{\infty}t^n\ e^{-st}\ dt=\frac{\Gamma{(n+1)}}{s^{n+1}}$, $$=\sqrt{2}\left[\frac{\Gamma\left({\frac{1}{2}+1}\right)}{s^\left({\frac{1}{2}+1}\right)}\right]_{s=1}$$ $$=\sqrt{2}\left[\frac{\frac{1}{2}\Gamma\left({\frac{1}{2}}\right)}{s^{3/2}}\right]_{s=1}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{1}=\color{red}{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}$$

Answer 3

De Stewart(RIP)'s Cálculo:

Cuando la integración de $2x^2e^{x^2}$, no elegimos a $dv = e^{x^2}$. Elegimos $dv = xe^{x^2}$ (o $2xe^{x^2}$)

Usted debe terminar con algo que se parece a:

$\int 2x^2e^{x^2} dx$ = [Antiderivada de $(2x^2+1)e^{x^2}$ menos $\int e^{x^2} dx$]

Desgraciadamente su caso consiste en la evaluación de algo no-primaria:

$$\int_0^{\infty} e^{-r^2/2} dr$$

Por la simetría de $e^{-r^2/2}$, tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2/2} dr = 2 \int_0^{\infty} e^{-r^2/2} dr$$

Esta fórmula nos da:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2/2} dr = \sqrt{2\pi}$$