Si $B$ es un subconjunto de un espacio de Banach es cierto que si $\operatorname{span} B$ es cerrado, a continuación, $\operatorname{span} B$ es finito dimensionales

Question

Deje $V$ ser una de Banach separable espacio

Deje $B \subset V$ ser linealmente independientes, cerrados y acotados subconjunto de $V$

Me gustaría saber si es cierto que $$\operatorname{span} B \text{ cerrado } \Longrightarrow \operatorname{span} B \text { es finito dimensionales}$$

gracias

Answer 1

Sí, la afirmación es verdadera.

Hay algunos buenos resultados en el papel

Bartoszyński, Tomek; Džamonja, Mirna; Halbeisen, Lorenz; Murtinová, Eva; Plichko, Anatolij, Sobre las bases en espacios de Banach, Stud. De matemáticas. 170, Nº 2, 147-171 (2005). ZBL1093.46012.

Vamos a dejar que $W = \operatorname{span} B$; tenga en cuenta que $W$ es también separable. Supongamos $B$ es linealmente independiente y $W$ es cerrado y de infinitas dimensiones; a continuación, $B$ es una base de Hamel para $W$. Tenga en cuenta que $B$ es cerrado en $W$ fib es cerrado en $V$. Se muestra en el Teorema 3.10 del papel más arriba que un Hamel base para un infinito-dimensional de Banach separables no puede ser una analítica conjunto y, en particular, no puede ser cerrado.

(Debe de ser mucho más elemental argumento para sólo mostrar directamente que no puede ser cerrado. Voy a pensar en ello.)

Si usted no asume $V$ es separable, entonces se puede fallar. Teorema 3.8 de la anterior demuestra que para los suficientemente grandes espacios de Hilbert ($V = \ell^2(\mathbb{R})$ lo haría), es posible construir una base de Hamel, que es cerrada.