¿Es la prueba que estoy utilizando, suficiente/ correcta para el sistema de ecuación?

Question

Quiero pedir a MSE que confirme la corrección de la solución alternativa y su error.

Conozco la posible solución: https://math.stackexchange.com/a/2557094/456510

Si $x,y,z\in {\mathbb R}$ , Resuelve la ecuación del sistema:

$$ \left\lbrace\begin{array}{ccccccl} x^4 & + & y^2 & + & 4 & = & 5yz \\[1mm] y^{4} & + & z^{2} & + & 4 & = &5zx \\[1mm] z^{4} & + & x^{2} & + & 4 & = & 5xy \end{array}\right. $$

Yo mismo escribí una solución (después de más trabajo).

Mis intentos / solución:

Es obvio que, si $x>0,y>0,z>0$ son soluciones, $x<0,y<0,z<0$ también son soluciones y es obvio que $x0,y0,z0$ .

Si las ecuaciones tienen solución, entonces $ x = y = z $ debería ser.

Prueba:

Aceptaré $x,y,z\in {\mathbb R^+}$

a-1)

Dejemos que $xz>y$

Podemos escribir :

$z^4>y^4 \\ x^2z^2 \\ z^4+x^2+4>y^4+z^2+4 \\ 5xy > 5zx \\ y>z$

Obtenemos la contradicción : $y>z$

Porque, debe ser $z>y$

a-2)

Dejemos que $x>zy$

Podemos escribir:

$z^4y^4 \\ x^2>z^2 \\ z^4+x^2+4>y^4+z^2+4 \\ 5xy > 5zx \\ y>z$

Obtenemos la misma contradicción : $y>z$

Porque, debe ser $zy$

b)

$yx>z$

Podemos escribir:

$x^4>z^4 \\ y^2x^2 \\ x^4+y^2+4>z^4+x^2+4 \\ 5yz > 5xy \\ z>x$

Pero, esto es una contradicción, porque debe ser $z<x$ .

Obtenemos la misma contradicción para : $y>xz$

c)

$y>zx$

Podemos escribir:

$y^4>z^4 \\ z^2x^2 \\ y^4+z^2+4>z^4+x^2+4 \\ 5zx > 5xy \\ z>y$

Pero, esto es una contradicción, porque debe ser $z<y$ .

Obtenemos la misma contradicción para : $yz>x$

d)

$z>xy$

Podemos escribir:

$z^4>x^4 \\ x^2y^2 \\ z^4+x^2+4>x^4+y^2+4 \\ 5xy > 5yz \\ x>z$

Pero, esto es una contradicción, porque debe ser $z>x$ .

Obtenemos la misma contradicción para : $zx>y$

e)

$zy>x$

Podemos escribir:

$y^4>x^4 \\ z^2y^2 \\ y^4+z^2+4>x^4+y^2+4 \\ 5zx > 5yz \\ x>y$

Pero, esto es una contradicción, porque debe ser $x<y$ .

Obtenemos la misma contradicción para : $z>yx$

f)

$x>yz$

Podemos escribir:

$x^4>y^4 \\ y^2z^2 \\ x^4+y^2+4>y^4+z^2+4 \\ 5yz > 5zx \\ y>x$

Pero, esto es una contradicción, porque debe ser $x>y$ .

Obtenemos la misma contradicción para : $xy>z$

Entonces, la solución debe ser $x=y=z$ (si hay una solución).

La prueba se ha completado.

Finalmente,

$$x^4+x^2+4-5x^2=0 \Rightarrow x^4-4x^2+4=0 \Rightarrow (x^2-2)^2=0 \Rightarrow x=±\sqrt2\Rightarrow x=y=z=±\sqrt2 .$$

¿Es correcta mi prueba/solución?

Gracias.

Answer 1

Buen trabajo. Sólo que demasiado verboso.

Tienes razón al decir que puedes asumir $x$ , $y$ y $z$ todos positivos (habrá una solución correspondiente con sus negativos). No puede darse el caso de que dos sean positivos y uno negativo, ni tampoco el de dos negativos y uno positivo, porque la positividad de los lados de la izquierda obliga a la positividad de los lados de la derecha, por lo que los tres números deben compartir el signo.

Sin embargo, hay otra simplificación, a saber, también se puede suponer $x$ es la solución máxima, porque las ecuaciones son cíclicas. Así, $$ x\ge y\ge z \qquad\text{or}\qquad x\ge z>y $$ Ya ha excluido el segundo caso, así que podemos concentrarnos en el primero.

Para demostrar que para una solución se necesita $x=y=z$ Sólo hay que excluir $x>y$ y $y>z$ .

En el caso $x>y\ge z$ tenemos, según su método, $$ x^4>y^4 \qquad y^2\ge z^2 $$ Entonces $$ 5yz=x^4+y^2+4>y^4+z^2+4=5zx $$ lo que implica $y>x$ una contradicción.

En el caso $x\ge y>z$ tenemos $$ y^2>z^2 \qquad x^4\ge y^4 $$ lo que implica $$ 5yz=x^4+y^2+4>y^4+z^2+4=5zx $$ que implica $y>x$ , de nuevo una contradicción.

Vimos que asumiendo $x>y$ o $y>z$ lleva a una contradicción. Dado que $x\ge y\ge z$ por suposición y no podemos tener ni $x>y$ ni $y>z$ deducimos que $x=y$ y $y=z$ .

Ahora, encontrar cuál es el valor común es fácil: tenemos $$ x^4-4x^2+4=0 $$ así que $x^2=2$ y $x=\pm\sqrt{2}$ . El problema tiene exactamente dos soluciones.