Puntos límite del conjunto $\{\frac{1}{2m} - \frac{1}{2n}\mid n, m \in \mathbb{N}\}$

Question

Sea S := $\{\frac{1}{2m} - \frac{1}{2n}\mid n, m \in \mathbb{N}\}$

Entonces, los puntos límite serán:

$\lim\limits_{n \to \infty} S = \frac{1}{2m}$

$\lim\limits_{m\to \infty} S = \frac{-1}{2n}$ .

$\lim\limits_{m, n \to \infty} S = 0$ .

Así, los puntos límite de S serán, como mínimo, los siguientes:

$ C := \{\frac{1}{2m}, \frac{-1}{2n}, 0\} \subset S'$

Sin embargo, no estoy seguro de poder demostrar que no hay otros puntos límite, es decir, que $S' \subset C$ . Esto es lo que tengo:

Dejemos que $x \notin C$ sea un punto límite de S $\Rightarrow x = \frac{1}{2m} - \frac{1}{2n} \text{ for some } n, m \in \mathbb{N}$ . Dejemos que $\epsilon = \frac{\sqrt{2}}{2} * (\frac{1}{2m} - \frac{1}{2(m + 1)}) \Rightarrow \nexists s \in S : s \in B(x, \epsilon) \Rightarrow s \notin S'. $

Aunque no estoy seguro de que el procedimiento haya sido correcto. Cualquier ayuda será apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

En realidad, su descripción de $C$ no es correcto. Debería ser $$C=\{0\}\cup\left\{\frac1{2n}\,\middle|\,n\in\mathbb N\right\}\cup\left\{\frac{-1}{2n}\,\middle|\,n\in\mathbb N\right\}.$$

Ahora, dejemos que $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ sea una secuencia convergente inyectiva de elementos de $S$ ; voy a demostrar que $\lim_{n\to\infty}x_n\in C$ . (Me ocuparé de las secuencias inyectivas sólo porque los elementos de $S'$ son aquellos números reales que son el límite de una secuencia inyectiva de elementos de $S$ .) Cada $x_n$ puede expresarse como $\frac1{2a_n}-\frac1{2b_n}$ con $a_n,b_n\in\mathbb N$ . Como la secuencia es inyectiva, al menos una de las secuencias $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ o $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ no tiene límites. Supongamos que es la primera. Como no tiene límites, como una subsecuencia que tiende a $+\infty$ . Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$ . Pero entonces, como la secuencia $\left(\frac1{2a_n}-\frac1{2b_n}\right)_{n\in\mathbb N}$ converge y $\lim_{n\to\infty}\frac1{2a_n}=0$ sólo puede converger a $0$ o a un número de la forma $\frac{-1}{2k}$ ( $k\in\mathbb N$ ). Un argumento similar se aplica si $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ no tiene límites; en este caso $\lim_{n\to\infty}x_n$ será $0$ o un número del tipo $\frac1{2k}$ ( $k\in\mathbb N$ ).