Describir el conjunto de todos los elementos de la $x,y \in H$, de tal manera que $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$.

Question

La pregunta es la siguiente:

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert. Describir el conjunto de todos los elementos de la $x,y \in H$, de tal manera que $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$.

$\textbf{An idea:}$

El conjunto de todos estos elementos en una unidad de la esfera que contiene un segmento de la línea de $[x,y]$ donde $x,y \in H$ $x \neq y.$

Tales elementos son linealmente independientes, ya que supongo que son dependientes y decir $y = \beta x$ algunos $\beta \in \mathbb{C}$. Luego tenemos a $1 = \|ax + (1-a)\beta x \| = \|a + (1-a)\beta\|$. A continuación, para $a = 0$ obtenemos $|\beta|=1$ $a = \frac{1}{2}$ obtenemos $|1+\beta|=2$, lo que implica que $\beta = 1$$x=y$, que es la contradicción.

Puede usted por favor hágamelo saber si estoy equivocado?

Y si me equivoco? Puede usted por favor hágamelo saber cuál es la respuesta correcta?

Gracias!

Answer 1

(Consideremos, en primer lugar un verdadero espacio de Hilbert $H$. El complejo caso que se presenta a continuación.)

El cuadrado ambos lados de la igualdad obtenemos $$ (1) \qquad \|x\| \, \|s\| = \langle x , y \rangle . $$ Por otro lado, la de Cauchy-Schwarz desigualdad da $$ \langle x , y \rangle \leq \|x\| \, \|s\| $$ con igualdad si y sólo si $x=\lambda y$ o $y = \lambda x$ algunos $\lambda \geq 0$. Por tanto, la igualdad en (1) sólo se aplica para este tipo de vectores.

Si $H$ es un complejo espacio de Hilbert, la anterior prueba necesita una pequeña modificación. Es decir, un razonamiento como el anterior obtenemos que la igualdad ocurre si y sólo si $$ (2) \qquad \text{Re}\langle x , y \rangle = \|x\| \, \|s\|. $$ Claramente, (2) sostiene que si $x=0$ o $y=0$. Supongamos ahora que $x, y\neq 0$, y considere los vectores normalizados $\xi := x/\|x\|$, $\eta := y / \|y\|$. Desde $\|\xi\| = \|\eta\| = 1$, la igualdad (2) (por vectores distintos de cero) es equivalente a $$ (3) \qquad \text{Re}\langle \xi \eta \rangle = 1. $$ tenemos que $$ \|\xi \eta\|^2 = 2 ( 1 - \texto{Re}\langle \xi \eta \rangle) $$ por tanto, (3) tiene si y sólo si $\xi = \eta$, es decir, si y sólo si $x$ es positivo múltiples de $y$.

Answer 2

Se mantiene para el conjunto de

$$\{(x,y) \in H^2 : x = 0 \text{ or } y = \lambda x \text{ for some } \lambda \ge 0\} = \{(x,y) \in H^2 : x = \lambda y \text{ or } y = \lambda x \text{ for some } \lambda \ge 0\}$$

De hecho, el cuadrado ambos lados, se obtiene:

$$\|x+y\|^2 = (\|x\| + \|y\|)^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\|x\|\|y\|$$

Tenemos:

$$\|x+y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle = \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\operatorname{Re}\langle x, y\rangle$$

Así llegamos a la conclusión de $\operatorname{Re}\langle x, y\rangle = \|x\|\|y\|$.

En general, esto es:

$$\left|\operatorname{Re}\langle x, y\rangle\right| \le \left|\langle x, y\rangle\right| \stackrel{CSB}{\le} \|x\|\|y\| $$

en nuestro caso podemos deducir $\left|\langle x, y\rangle\right| = \|x\|\|y\|$. La igualdad en la CSB tiene si y sólo si $x, y$ son colinear, lo que significa que no existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $y = \lambda x$ o $x = 0$.

Sin embargo, eso no es suficiente. Suponga $x \ne 0$.

El uso de la fórmula original de $-y$ tenemos:

$$\|x - y\| = \|x\| + \|-y\| = \|x\| + \|y\| = \|x + y\|$$

El cuadrado se obtiene:

$$\|x\|^2 + \|y\|^2 - \langle x, y\rangle - \langle y, x \rangle = \|x - y\|^2 = \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + \langle x, y\rangle + \langle y, x \rangle$$

por lo $\langle x, y\rangle = - \langle y, x \rangle$

Tenemos

$$\overline{\lambda}\|x\|^2 = \langle x, \lambda x\rangle = \langle x, y\rangle = - \langle y, x \rangle = \langle \lambda x, y\rangle = \lambda\|x\|^2$$

lo que significa que $\lambda \in \mathbb{R}$.

Conectar de nuevo a la fórmula original de los rendimientos:

$$ |1+\lambda|\|x\| = \|x + \lambda x\|= \|x + y\| = \|x\| + \|y\| = \|x\| + \|\lambda x\| = (1 + |\lambda| )\|x\|$$

Por lo $|1+\lambda| = 1 + |\lambda|$.

El cuadrado ambos lados, se obtiene:

$$1 + 2\lambda + \lambda^2 = |1+\lambda|^2 = (1 + |\lambda|)^2 = 1 + 2|\lambda| + |\lambda|^2$$

por lo $\lambda = |\lambda|$, lo que implica $\lambda \ge 0$.

Este es sin duda necesario, y se puede comprobar que esta es también la condición suficiente.