¿Es cierta esta identidad sobre la curvatura de Ricci?

Question

$\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}$ $\newcommand{\M}{\mathcal{M}}$ $\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} $ $\newcommand{\div}{\operatorname{div}} $

Dejemos que $\M$ sea una variedad riemanniana, $\nabla^{T\M}$ es su conexión Levi-Civita. Dado $X \in \Gamma(T\M)$ Consideramos que $\nabla^{T\M} X$ como un mapa lineal (morfismo de haz vectorial) $T\M \to T\M$ .

¿Es cierto que para todos los $X,Y \in \Gamma(T\M)$ $$\Ric(Y,X)=\tr (\nabla^{T\M}Y) \cdot \tr(\nabla^{T\M}X) -\tr ( \nabla^{T\M}Y \circ \nabla^{T\M}X), \tag{1}$$

donde $\Ric$ es la curvatura de Ricci de $\M$ .

Motivación: De alguna manera derivé (en un muy manera engorrosa) la igualdad $$\int_{\M} \Ric(Y,X)= \int_{\M} \tr (\nabla^{T\M}Y) \cdot \tr(\nabla^{T\M}X) -\tr ( \nabla^{T\M}Y \circ \nabla^{T\M}X) , \tag{2}$$

(Supongo que $\M$ es cerrado y orientado; la integración es con la forma volumétrica de Riemann de $\M$ ).

Editar:

Como observado por levap , la igualdad $(1)$ es falso. He aquí una prueba de la igualdad $(2)$ , basándose en algunos lemas de mi respuesta :

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\tr (\nabla^{T\M}Y)=\div Y,\tr (\nabla^{T\M}X)=\div X$ , por lo que la igualdad $(2)$ no es más que

$$\int_{\M} \Ric(Y,X)= \int_{\M} \div Y\cdot\div X -\tr ( \nabla^{T\M}Y \circ \nabla^{T\M}X) . \tag{3}$$

Ahora pasamos a analizar los dos sumandos de la RHS, hasta los términos de divergencia: (como la integral de una divergencia es cero, esto no importa para la integral):

La primera observación (de Anthony Carapetis) es que $$ (\mathrm{tr}_{13} \nabla^2 Y)(X) = \mathrm{div}(\nabla_X Y) - \mathrm{tr}(\nabla Y \circ \nabla X). \tag{4}$$

(Para una demostración, véase el lema 2 en mi respuesta ).

Para el otro término, utilizamos la identidad $\div(fX)=f\div X+\tr(df \otimes X)$ , para $f=\div Y$ :

$$\div(\div Y X)=\div Y\div X+\tr\big(d\div Y \otimes X\big). \tag{5}$$ Combinación de ecuaciones $(4),(5)$ obtenemos esa igualdad $(3)$ equivale a

$$\int_{\M} \Ric(Y,X)= \int_{\M} -\tr\big(d\div Y \otimes X\big) +(\mathrm{tr}_{13} \nabla^2 Y)(X). \tag{6}$$

Ahora, utilizamos $$ \tr\big(d\div Y \otimes X\big) = (\tr_{23} \nabla^2 Y)(X), \tag{7}$$ (Véase el lema 3 en mi respuesta )

lo que implica $(6)$ equivale a

$$\int_{\M} \Ric(Y,X)= \int_{\M} (\mathrm{tr}_{13} \nabla^2 Y-\tr_{23} \nabla^2 Y)(X). \tag{8}$$

Pero, el lema 1 en mi respuesta implica que ahora las integradas son iguales: $$ \Ric(Y,X)= (\mathrm{tr}_{13} \nabla^2 Y-\tr_{23} \nabla^2 Y)(X).$$

En resumen, hemos demostrado que las integradas originales son iguales hasta los términos de divergencia, por lo que sus integrales son iguales.

Answer 1

El lado derecho no es tensorial en $X,Y$ así que definitivamente no tienes una igualdad trivial. Consideremos, por ejemplo, el caso $M = \mathbb{R}^n$ con la métrica plana. El lado izquierdo es cero pero el lado derecho es

$$ \operatorname{tr}(dX) \operatorname{tr}(dY) - \operatorname{tr}(dX \circ dY) $$

donde identificamos los campos vectoriales $X,Y$ en $\mathbb{R}^n$ con mapas suaves $X,Y \colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ y luego las derivadas covariantes completas $\nabla X, \nabla Y$ se identifican con los diferenciales $dX, dY$ . Cuando $n > 1$ la identidad

$$ 0 = \operatorname{tr}(dX) \operatorname{tr}(dY) - \operatorname{tr}(dX \circ dY) $$

es falso ya para los campos vectoriales lineales $X,Y$ .

Answer 2

Demuestro algunos lemas, necesarios para establecer la igualdad integral: $\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}$ $\newcommand{\M}{\mathcal{M}}$ $\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} $ $\newcommand{\div}{\operatorname{div}} $

Lema 1:

$$\Ric(X,Y) = (\tr_{13} \nabla^2 Y - \tr_{23} \nabla^2 Y)(X)$$

Prueba:

En primer lugar, observamos que $$\nabla^2 Y(X,Z)-\nabla^2 Y(Z,X)=(\nabla_X \nabla_Z Y-\nabla_{\nabla_X Z}Y)-(\nabla_Z \nabla_X Y-\nabla_{\nabla_Z X}Y)=$$

$$\nabla_X \nabla_Z Y-\nabla_Z \nabla_X Y-\nabla_{(\nabla_X Z-\nabla_Z X)}Y=\nabla_X \nabla_Z Y-\nabla_Z \nabla_X Y-\nabla_{[X,Z]}Y=R(X,Z)Y.$$

Ahora,

$$ (\tr_{23} \nabla^2 Y - \tr_{13} \nabla^2 Y)(X)=\sum_i \langle \nabla^2 Y(X,e_i)-\nabla^2 Y(e_i,X),e_i \rangle=\sum_i \langle R(X,e_i)Y,e_i \rangle=$$

$$ -\sum_i \langle R(e_i,X)Y,e_i \rangle=-\Ric (X,Y).$$

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Comentario: He aquí la razón $$\nabla^2 Y(X,Z)=\nabla_X \nabla_Z Y-\nabla_{\nabla_X Z}Y :\tag{1}$$

Por definición tenemos $\nabla^2 Y(X,Z):=(\nabla^{T^*M \otimes TM}_X \nabla Y)(Z).$

$$ \nabla^{TM}_X \big((\nabla^{TM} Y)(Z))=(\nabla^{T^*M \otimes TM}_X \nabla Y)(Z)+(\nabla^{TM} Y)(\nabla_X^{TM} Z),$$

lo que equivale a

$$ \nabla^{TM}_X \nabla_Z^{TM} Y= \nabla^2 Y(X,Z)+\nabla_{\nabla_X^{TM} Z}^{TM}Y.$$

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Lema 2: $$(\mathrm{tr}_{13} \nabla^2 Y)(X) = \mathrm{div}(\nabla_X Y) - \mathrm{tr}(\nabla Y \circ \nabla X). $$

Prueba:

Utilizando la ecuación $(1)$ obtenemos

$$(\mathrm{tr}_{13} \nabla^2 Y)(X)=\sum_i \langle \nabla^2 Y(e_i,X),e_i \rangle=\sum_i \langle \nabla_{e_i} \nabla_X Y-\nabla_{\nabla_{e_i} X}Y,e_i \rangle=$$

$$ \sum_i \langle \nabla_{e_i} (\nabla_X Y),e_i \rangle-\sum_i \langle \nabla_{\nabla_{e_i} X}Y,e_i \rangle=$$

$$ \mathrm{div}(\nabla_X Y)-\sum_i \langle \nabla Y(\nabla_{e_i} X),e_i \rangle=$$

$$ \mathrm{div}(\nabla_X Y)-\sum_i \langle \nabla Y(\nabla X(e_i)),e_i \rangle=$$

$$ \mathrm{div}(\nabla_X Y)-\sum_i \langle (\nabla Y \circ \nabla X)(e_i),e_i \rangle=\mathrm{div}(\nabla_X Y) - \mathrm{tr}(\nabla Y \circ \nabla X).$$

---

$\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}$ $\newcommand{\M}{\mathcal{M}}$ $\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} $ $\newcommand{\div}{\operatorname{div}} $

Lema 3:

$$ \tr\big(d\div Y \otimes X\big) = (\tr_{23} \nabla^2 Y)(X).$$

Prueba:

Dejemos que $p \in M$ . Sea $e_i$ sea un marco inducido por coordenadas normales centradas en $p$ . En particular, $e_i(p)$ es una base ortonormal para $T_pM$ y $\nabla_{e_j} {e_i}=0$ .

Por un lado

$$A:=(\tr_{23} \nabla^2 Y)(X)= \sum_i \langle \nabla^2 Y(X,e_i),e_i \rangle=\sum_i \langle \nabla_X \nabla_{e_i} Y-\nabla_{\nabla_X {e_i}}Y,e_i \rangle= \tag{1*}$$

$$ \sum_{ij} X_j \langle \nabla_{e_j} \nabla_{e_i} Y-\nabla_{\nabla_{e_j} {e_i}}Y,e_i \rangle=\sum_{ij} X_j \langle \nabla_{e_j} \nabla_{e_i} Y,e_i \rangle=\sum_j X_ja_j,$$

donde

$$ a_j=\sum_i \langle \nabla_{e_j} \nabla_{e_i} Y,e_i \rangle \tag{2*}$$

Por otro lado,

$$B:=\tr\big(d\div Y \otimes X\big)=\sum_j \langle (d\div Y)(e_j)X,e_j \rangle=\sum_j \langle b_jX,e_j \rangle=\sum_j b_jX_j, \tag{3*}$$

donde

$$ b_j:=(d\div Y)(e_j)=e_j \cdot \div Y=e_j \cdot \sum_i \langle \nabla_{e_i}Y,e_i \rangle=\sum_i e_j \cdot \langle \nabla_{e_i}Y,e_i \rangle \tag{4*}=$$

$$ \sum_i \big( \langle \nabla_{e_j}\nabla_{e_i}Y,e_i \rangle+ \langle \nabla_{e_i}Y,\nabla_{e_j} e_i \rangle \big)=\sum_i \langle \nabla_{e_j}\nabla_{e_i}Y,e_i \rangle=a_j.$$