¿Por qué es tan importante el teorema del valor intermedio?

Question

Me gustaría saber por qué el teorema del valor intermedio es tan importante. Entonces, mis preguntas son:

1. ¿Qué teoremas importantes probamos usando el teorema del valor intermedio?
2. ¿Existen aplicaciones directas del teorema del valor intermedio fuera de las matemáticas?
3. ¿Tiene importancia histórica el teorema del valor intermedio?

Answer 1

Podemos usar el teorema del valor intermedio para calcular ecuaciones como, por ejemplo, $\cos(x)=x$.

consideremos la función $f:[0,\pi/2]\mapsto\Bbb R, x\to\cos x-x$.

esta función es continua y $f(0)=1,f(\pi/2)=-\pi/2$. por el teorema del valor intermedio sabemos que $f(c)=0,c\in[0,\pi/2]$. esto no nos ayuda mucho, así que dividamos $[0,\pi/2]$ en $[0,\pi/4],[\pi/4,\pi/2]$.

ahora tenemos $f(0)=1,f(\pi/4)\approx -0.0782913822,f(\pi/2)=-\pi/2$.

usando el teorema del valor intermedio sabemos que $c\in[0,\pi/4]$, ¡genial! ahora dividamos nuestro intervalo en 2 intervalos más pequeños nuevamente: $[0,\pi/4]$ en $[0,\pi/8],[\pi/8,\pi/4]$

ahora tenemos $f(0)=1,f(\pi/8)\approx0.531180451,f(\pi/4)\approx -0.0782913822$.

por lo tanto $c\in[\pi/8,\pi/4]$. al hacer esto una y otra vez podemos llegar a una aproximación bastante buena

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este teorema es importante en física donde necesitas construir funciones usando resultados de ecuaciones de las que solo conocemos cómo aproximar la respuesta, y no el valor exacto, un ejemplo simple es cuando 2 cuerpos chocan en $\mathbb R^2$. en este caso tendrás un sistema de 2 ecuaciones en forma similar al ejemplo de la primera parte.

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Sé sobre solo una importancia histórica, antes de que existiera una definición de continuidad, la gente usaba este teorema, porque si esto es cierto para todos los subintervalos en la función $f$ entonces $f$ es continua

Answer 2

Un poco demasiado largo para un comentario ...

En general, el IVT establece que las aplicaciones continuas preservan la conexidad.

Para el punto (1):

Sea $f$ una función continua de valores reales definida en un intervalo $J$ de $\mathbb R$. Reclamación: Si $f$ es inyectiva, entonces es estrictamente monotona.

Defina $g\colon D:=\{(x,y)\in J^2|x>y\}\to\mathbb R$, $g(x,y):=f(x)-f(y)$. Como $f$ es continua, también lo es $g$. Ahora $D$ es conexo, por lo tanto $g(D)$ es conexo, es decir, un intervalo de los números reales. Dado que $f$ es inyectiva, $g(D)$ no contiene $0$.

Answer 3

existen dos puntos antipodales en el ecuador que tienen la misma temperatura.

¿Puedes probar que en todo momento hay un par de puntos opuestos en el ecuador donde la temperatura en uno es igual a la temperatura del otro?

Para ver cómo podemos probar esto, elija dos puntos arbitrarios. Etiquete los puntos como A y B con la temperatura de A mayor que B. Encuentre la diferencia de temperatura de los dos puntos. Si la diferencia es cero, entonces has encontrado un par de puntos. Si no, mueva el punto A al punto B y el punto B al punto A. Ahora la diferencia de temperatura es negativa. Debido a que la diferencia de temperatura es una función continua, existe un punto en el ecuador donde la diferencia es cero. Esos dos puntos tienen la misma temperatura.