La obtención de Determinante sin Ampliar

Question

La pregunta es #653 de Golán del Álgebra Lineal Cada Estudiante Graduado Debe Conocer y aunque no se dice explícitamente que no sólo ampliar y factor, creo que ese es el espíritu de la pregunta.

$$ \begin{vmatrix} -2a & a+b & a+c\\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \\ \end{vmatrix} $$

Ya que la respuesta es $$ 4(a+b)(b+c)(a+c) $$

Me inclino a pensar que tiene algo que ver con sabiamente dividiendo (a+b), etc. de filas en particular o alguna otra combinación lineal trucos, pero me parece que no puede entender. Alguna idea?

Answer 1

Considerar $F(a,b,c) = \begin{vmatrix} -2a & a+b & a+c\\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \\ \end{vmatrix}$

Con un trabajo en el que podemos mostrar que $F(a,b,c)$ es un cíclico simétrico polinomio de grado $3$.

Ahora, podemos usar las propiedades de tales polinomios para evaluar el determinante. Al $a=-b$ el determinante se convierte en $0$. Por lo tanto $(a+b)$ es un factor. Del mismo modo $(b+c)$, $(c+a)$ son factores.

Por lo tanto $F(a,b,c) = k(a+b)(b+c)(c+a)$. Ahora, para determinar el $k$$a=1, b=1, c=0$. Llegamos $k=4$.

Por lo tanto $F(a,b,c) = 4(a+b)(b+c)(c+a)$

Answer 2

Yo no veo ninguna obvio trucos, pero si pones $(x,y,z)=(a+b,\,b+c,\,c+a)$ y reescribir la matriz como $$ A=\pmatrix{ y-x-z &x &z\\ x y z-x-y y y\\ z &y &x-y-z}, $$ entonces $$ PAP=B=\pmatrix{ 0 y 2x y 2z\\ 2x&0&2y\\ 2z&2y&0},\ \text{ donde }P=\pmatrix{ 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0}. $$ Por lo tanto $\det(A)=\det(B)/\det(P)^2$. Usted no necesita expandir$\det(P)$, para calcular su valor. De hecho, desde el $P=ee^T-I$ (aquí se $e$ denota el todo-uno vector), nos pondremos $\det(P)=e^Te-1=2$. Sin embargo, para calcular el $\det(B)$, no puedo pensar en un mejor método de Sarrus' regla.

Answer 3

Ah, yo sólo ahora se dio cuenta de que la pregunta se hizo antes. Para expiar mi repost pecado, te voy a dar una respuesta que yo no había visto de todo y me parece probable que lo que el problema tiene como objetivo (inspirado por la sustitución propuesta en las otras respuestas), por favor, compruebe que es correcta:

El uso de la $(a+b)=x,(b+c)=y,(a+c)=z$ de sustitución, tenemos

$$ \begin{vmatrix} y-x-z & x & z\\ x & z-x-y & y \\ z & y & x-y-z \\ \end{vmatrix} $$

Ahora $R1=R1+R2+R3$:

$$ \begin{vmatrix} y & z & x\\ x & z-x-y & y \\ z & y & x-y-z \\ \end{vmatrix} $$

Ahora se multiplica la columna 1 por $xz$, la columna 2 por $xy$ y la columna 3 por $yz$, con el fin de hacer $xyz$ a través de la fila. Para compensar pones $\frac{1}{(xyz)^2}$ frente:

$$\frac{1}{(xyz)^2} \begin{vmatrix} xyz & xyz & xyz\\ x^2z & xy(z-x-y) & y^2z \\ z^2x & xy^2 & yz(x-y-z) \\ \end{vmatrix}$$

Ahora usted saque $xyz$ desde la primera fila y hacer $C2=C2-C1$, $C3=C3-C1$, y se puede conseguir algo como:

$$\frac{1}{(xyz)} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \\ \end{vmatrix}$$

Donde $...$ es polinomios verdad es que no quiero escribir, pero usted puede ver sólo una 2x2 determinante sobrevive, que cuando se expande debe ceder el deseado $4x^2y^2z^2$, que luego se divide por $xyz$ para obtener el resultado de la $4xyz$.