El área de un derecho triángulo esférico

Question

Hay un pacto fórmula para el área (exceso de ángulo, si una unidad de la esfera) de un derecho esférica triángulo dados sus longitudes de lado $a$$b$?

Como se explicó en la respuesta a una pregunta anterior sobre el área de la genérica de un triángulo esférico, el exceso de ángulo de $E$ está dado por $$\tan\frac E4=\sqrt{\tan\frac{a+b+c}4\tan\frac{-a+b+c}4\tan\frac{a-b+c}4\tan\frac{a+b-c}4}$$ Sin embargo, no tengo $c$. Por supuesto, puedo usar Napier reglas del derecho esférica de triángulos para encontrar $c$.

Pensé acerca del uso de la integración en coordenadas esféricas (suponiendo que B es el polo norte y la equiparación de la $a$ $c$ con polar y azimutales, respectivamente). Sin embargo, ese enfoque requiere el conocimiento de la representación exacta de la gran círculo que conecta $A$ $B$en el gráfico de coordenadas.

Answer 1

En el Teorema 9.2 de este documento, se muestra que el área de una esfera a la derecha del triángulo, $E$, está dada por $$ \tan\left(\frac E2\right)=\tan\left(\frac a2\right)\tan\left(\frac b2\right) $$ donde $a$ $b$ son las dos patas de la derecha, triángulo esférico.

Answer 2

Napier Reglas de hacerlo fácilmente. La Regla de que la ayuda es $\sin b=\tan a\cot A$, en otras palabras, \begin{align} \tan A&=\frac{\tan a}{\sin b}&A&=\arctan\left(\frac{\tan a}{\sin b}\right)\,,\\ \tan B&=\frac{\tan b}{\sin a}&B&=\arctan\left(\frac{\tan b}{\sin a}\right)\,,\\ \text{area}&=A+B-\frac\pi2\,. \end{align}

Answer 3

De acuerdo a Todhunter de la Trigonometría Esférica (sección VIII ejemplo 4): $$\sin\frac E2=\sin\frac a2\sin\frac b2\sec\frac c2$$ $$\cos\frac E2=\cos\frac a2\cos\frac b2\sec\frac c2$$ Entonces $$\tan\frac E2=\tan\frac a2\tan\frac b2$$ De acuerdo con el artículo 99 de la misma fuente, $E=A+B+C-\pi$ para cualquier triángulo en la unidad de la esfera. Al $C=\frac\pi2$: $$E=A+B-\frac\pi2$$