¿Por qué el siguiente operador invertible

Question

Supongamos que $T : X \rightarrow X$ es una isometría entre dos espacios de Banach. Entonces si $|\lambda| < 1$, $T^{-1} - \frac{1}{\lambda}I_X$ es invertible. Puede alguien explicar este paso es fundamental paso en uno de mis pruebas.

Answer 1

Fix $v \in X$. Queremos mostrar que hay un único $w \in X$ tal que $\displaystyle T^{-1}w - \frac{1}{\lambda}w=v$ (muestra bijectivity, y por la limitada inversa teorema, la inversa es limitada).

Esto es equivalente a encontrar un único $w$ tal que $\lambda T^{-1}w -\lambda v = w$. Recuerde, $v$ es fijo.

Así definen $A: X \to X$$Ax = \lambda T^{-1}x -\lambda v$. A continuación, $\|Ax-Ay\| = |\lambda|\|T^{-1}x - T^{-1}y\|\le |\lambda|\|T^{-1}\|\|x-y\|.$

Ahora desde $T$ es una isometría así es $T^{-1}$, por lo que su operador de la norma es $1$. Por lo tanto $\|Ax-Ay\| \le |\lambda|\|x-y\|$$|\lambda|<1$. Por lo tanto $A$ es una contracción. Desde $X$ es un espacio de Banach, podemos aplicar la asignación de contracción teorema para llegar allí es un punto fijo $Aw = w$. Esto significa $\lambda T^{-1} w -w = \lambda v$ o, $\displaystyle (T^{-1} - \frac{1}{\lambda}I)w =v$. Por lo tanto $T^{-1} - \frac{1}{\lambda}I$ es invertible.