La probabilidad de formar Mississippi eligiendo al azar letras de Mississippi

Question

Tengo dificultades con el siguiente problema:

Eliges una letra al azar de la palabra Mississippi once veces sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que pueda formar la palabra Mississippi con las once letras elegidas? Sugerencia La idea de la "vida": puede ser útil numerar las once letras como $1, 2, . . . , 11$ .

Así es como lo enfoqué: el número de resultados posibles es $11!$ ya que estamos tomando una palabra a la vez sin reemplazo, por lo que hay $11$ opciones para la primera letra, $10$ opciones para la segunda letra y así sucesivamente. Ahora, en cuanto al número de resultados "exitosos", he observado que hay $4$ s para elegir, $4$ i's, $1$ M y $2$ p's. Así, para formar la palabra Mississippi, tenemos para la primera letra $1$ opción, $4$ para la segunda y tercera letra, $3$ para la cuarta (puesto que ya hemos utilizado una "s") y así sucesivamente, lo que suma un total de $4^2*3^2*2^3=1152$ diferentes formas de hacerlo.

Sin embargo, mi respuesta no coincide con la que aparece en mi libro (Henk Tijn's Understanding Probability 3rd edition). ¿Qué estoy haciendo mal? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Hay $11!$ permutaciones de 11 letras pero el orden de las 4 s, 4 i y 2 p no importa. Esto significa que hay $2! 4! 4!$ permutaciones indistinguibles para cualquier permutación de las 11 letras. Por lo tanto, hay $$\begin{equation} \frac{11!}{2! 4! 4!} = 34650 \end{equation}$$ formas de ordenar las letras de Mississippi, haciendo que la probabilidad $1/34650$ que una permutación aleatoria deletrea Mississippi.

Answer 2

Aquí está la palabra $$\begin{matrix}M&I&S&S&I&S&S&I&P&P&I\\1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\end{matrix}$$ con una numeración de los dibujos.

1 La probabilidad de que elija la letra $M$ la primera vez es $\frac{1}{11}.$

2 Entonces, dado 1 la probabilidad de que elija la letra $I$ la segunda vez es $\frac4{10}$ .

A partir de este momento se omitirá la frase: "dado el resultado de los dibujos anteriores".

3 La probabilidad de que elija la letra $S$ la tercera vez es $\frac49$ .

4 La probabilidad de que elija la letra $S$ la cuarta vez es $\frac38$ .

5 La probabilidad de que elija la letra $I$ la quinta vez es $\frac 37$ .

6 La probabilidad de que elija la letra $S$ el sexto tiempo es $\frac26$ .

7 La probabilidad de que elija la letra $S$ el séptimo tiempo es $\frac15$ .

8 La probabilidad de que elija la letra $I$ la octava vez es $\frac24$ .

9 La probabilidad de que elija la letra $P$ la novena vez es $\frac23$ .

10 La probabilidad de que elija la letra $P$ la décima vez es $\frac12$ .

11 La probabilidad de que elija la letra $I$ la undécima vez es $1$ .

Por lo tanto, la probabilidad de que se repita la palabra es

$$\frac{1}{11}\frac4{10}\frac49\frac38\frac 37\frac26\frac15\frac24\frac23\frac12=\frac{2(4!)^2}{11!}$$