Existencia y unicidad de solución de : $y'(x) = (x-y(x))^{4/5}, \space y(3)=3$

Question

Estudiar la Existencia y Unicidad de la urografía EXCRETORA : $$y'(x) = (x-y(x))^{4/5}, \space y(3)=3$$

Con respecto a la existencia, yo la primera vez que asuma $f$ la función :

$$f(x,y)=(x-y)^{4/5}$$

Se observa que el $f(x,y)$ es no continua en $ \mathbb R^2$ since we need $x-y\geq0$.

Dejando $D$ ser un dominio, por ejemplo :

$$D=\{(x,y)\in \mathbb R^2: |x-3| \leq ε_1, \space |y-3|\leq ε_2 \}$$

podemos decir que no existe $ε_1,ε_2 \in \mathbb R$ tal que $f$ es continua en a $D$, lo que significa que el IVP tiene una solución en $D$.

Pregunta : Es el enunciado correcto ? Voy a entrar en más detalles, explicando porqué $f$ puede ser continua en un dominio ?

Finalmente, con respecto a la singularidad, sé que muestran que $f(x,y)=(x-y)^{4/5}$ es una de Lipschitz de la función es suficiente. :

$$|f(x,y_2) -f(x,y_1)|=|(x-y_2)^{4/5}-(x-y_1)^{4/5}|$$

La función de $g(y)=(x-y)^{4/5}$ es continua en el intervalo $[y_1,y_2]$ $y_1,y_2 \in D_f$ $g$ también es diferenciable en a $(y_1,y_2)$ , lo que significa que se le puede aplicar el Valor medio Teorema y la producción :

$$g'(ξ)=\frac{g(y_2)-g(y_1)}{y_2-y_1}\Rightarrow \bigg|\frac{4}{5(x-ξ)^{1/5}}\bigg||y_2-y_1|=|(x-y_2)^{4/5}-(x-y_1)^{4/5}|$$

Aquí, podemos ver que no hay un límite para la expresión de $\bigg|\frac{4}{5(x-ξ)^{1/5}}\bigg|$, lo que significa que la solución no es única.

Answer 1

La función de $f$ no está definido en su conjunto $D$ desde $D$ contiene puntos donde $x<y$. Así que tu afirmación no es correcta.

También la unicidad, el teorema dice que si $f$ es de Lipschitz en $y$, entonces la solución es única, pero el recíproco no es cierto. Así que usted no puede decir que desde la $f$ no es Lipschitz, no hay ninguna singularidad.

Es cierto que uno podría definir $t^{4/5}=(t^4)^{1/5}$ pero luego se pierde propiedades importantes como $t^{ab}=(t^a)^b$. En general es mejor no definir $t^a$ si $a$ es un racional y $t<0$. Un camino en este caso sería la de extender $f$ a ser cero en la región de $x<y$. Así que ahora el problema $y'(x)=f(x,y)$, $y(3)=3$ tiene una solución desde $f$ es continua en a $\mathbb R^2$. A continuación, puede seguir Riegel de la prueba para obtener existencia y demostrar que la solución que usted recibe se queda en la región $x-y\ge 0$, por lo que es una solución de la ecuación original.

Answer 2

La función de $f(x,y) := (x-y)^{4/5}$ es continua es $\mathbb{R}^2$, siendo la composición de funciones continuas $\phi(t) := t^{4/5} = \sqrt[5]{t^4}$, $t\in\mathbb{R}$ y $g(x,y) := x-y$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

Por Peano del teorema de existencia, la de Cauchy problemas asociados con $f$ tienen soluciones.

La función de $f$ no es (localmente) Lipschitz continua, pero esto es sólo una condición suficiente para obtener la unicidad de la solución de problemas de Cauchy.

Es fácil ver que $y(x)$ es una solución de $y'=f(x,y)$ si y sólo si $z(x) := y(x) - x$ es una solución de $z' = h(x,z)$,$h(x,z) := z^{4/5} - 1$. En particular, $y(x)$ es una solución del problema de Cauchy si y sólo si $z(x) := y(x) - x$ es una solución del problema de Cauchy $$ \begin{cases} z' = z^{4/5} - 1,\\ z(3) = 0. \end{casos} $$ Este problema de Cauchy admite que, localmente, una solución única, definidas implícitamente por $$ \int_0^z \frac{1}{s^{4/5}-1}\, ds = x-3. $$ Se puede demostrar (pero esto requiere de un simple estudio cualitativo) que este local única solución puede ser prolongada a una única solución global.