Quiero integrar a $$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x)^5}dx$$ por el método de los residuos, pero yo la he hecho sólo problemas de simple polos, pero este es un problema de la quinta orden de polo. Así que estoy atascado en ella. También, ¿por qué el valor de esta integral es 0 si el rango es de - infinito a infinito. Creo que es de valor principal de cauchy, pero no sé por qué?
Respuesta
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Una manera de atacar a este a través de los residuos es considerar el siguiente contorno integral
$$\oint_C dz \frac{\log{z}}{(z+1)^5} $$
donde $C$ es un ojo de la cerradura de contorno de radio exterior $R$ y un radio interior de $\epsilon$. En el límite de $R \to \infty$$\epsilon \to 0$, el contorno de la integral es igual a
$$\int_0^{\infty} dx \frac{\log{x} - (\log{x}+i 2 \pi)}{(x+1)^5} = -i 2 \pi \int_0^{\infty} \frac{dx}{(x+1)^5}$$
El contorno de la integral es también igual a $i 2 \pi$ veces el residuo en la pole $z=-1$. Por lo tanto,
$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x+1)^5} = -\frac1{4!} \left [\frac{d^4}{dz^4} \log{z} \right ]_{z=-1} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4!} \frac1{(-1)^4} = \frac14$$
