Cómo entender la voladura de un submanifold

Question

Estoy tratando de entender la idea de la voladura de un submanifold de un suave real del colector. La definición que conozco es la sustitución de las submanifold por su unidad tangente paquete (sin embargo, en el lugar que he leído acerca de que no se especifica cómo), y el topológica de la intuición sé que es la eliminación de un tubular abierta de barrio de la submanifold. Sin embargo, yo realmente no entiendo la definición o por qué esta es la forma en que lo mira topológicamente. Visualmente hablando, la mayoría de mis problemas imaginando blow-ups de producto colectores o, en general, "complicado", como contraposición a la voladura de un único punto, que es generalmente el más básico ejemplo dado.

También, sé que no es una idea análoga en la geometría algebraica y que se discute en varios hilos sobre el MSE, pero mi experiencia en la geometría algebraica es muy básica, por lo que me gustaría entender el concepto como topológico/diferencial términos como sea posible. Por último, sé que la idea de volar se está expandiendo en lugar de la explosión, pero esto sólo parcialmente ayuda a mi entendimiento (sólo mencionar esto, ya que parece ser la descripción de personas dan al principio como una respuesta a preguntas similares).

Answer 1

$\newcommand{\P}{\mathbf{P}}\newcommand{\R}{\mathbf{R}}$**Advertencia**: La noción de "blow-up", que se describe a continuación no es la pregunta, pero es, sin duda, similar en espíritu. Tal vez esta cuenta se sugieren cómo definir la noción de precisión, o estimular a alguien para hacerlo.

La "costumbre" algebro-noción geométrica de la voladura equivale a lo siguiente: Vamos a $i:M \hookrightarrow N$ ser un suave submanifold, y deje $p:E \to M$ denotar la normal paquete de $M$$N$. (Se puede pensar en el "normal " paquete", simplemente como un complemento de subbundle de $TM$ $i^{*}TN$ si las métricas están disponibles para tomar complementos ortogonales.)

En primer lugar, he aquí una descripción de la voladura de una fibra de $E$ (es decir, "la voladura de un punto"). El conjunto de líneas a través del vector cero en una fibra $E_{x}$ es un espacio proyectivo $\P(E_{x})$. En el producto Cartesiano $\P(E_{x}) \times E_{x}$, considera la "tautológica subconjunto" $\widetilde{E_{x}}$ consiste de pares de $(\ell, v)$ tal que $v \in \ell$. Proyección en el segundo factor, es decir,$\Pi_{2}:\widetilde{E_{x}} \subset \P(E_{x}) \times E_{x} \to E_{x}$, induce una diffeomorphism excepto durante el vector cero de $E_{x}$; la preimagen de que el vector cero es $\P(E_{x})$.

Geométricamente, $\widetilde{E_{x}}$ comprende a todos los unidimensional lineal subespacios de $E_{x}$, pero ahora distintos subespacios tienen distintos de cero los vectores. En este sentido, $\widetilde{E_{x}}$ se obtiene a partir de a $E_{x}$ quitando el vector cero y pegar en el espacio proyectivo $\P(E_{x})$; un punto que debe ser añadido para cada línea a través del origen.

Aquí están las fotos al $\dim(E_{x}) = 2$, creado por Dana Mackenzie es Lo que Ocurre en las Ciencias Matemáticas, 2009; que las etiquetas indiquen un espacio vectorial complejo, pero, por supuesto, un verdadero espacio vectorial se muestra. Conceptualmente la real y complejo de imágenes son idénticas.

Para volar el submanifold $M \subset N$, una muestra de la anterior construcción puede ser localmente en $M$, es decir, más de una coordenada vecindario $U \subset M$, esencialmente por tomar el producto Cartesiano de la anterior imagen con $U$. Geométricamente, $M$ es eliminado de $N$, y la proyectiva bundle $\P(E)$ está pegada en el, de tal manera que los distintos normal de las direcciones en un solo punto de $M$ "tocar diferentes puntos de $M$" en el blow-up.

Por ejemplo, el golpe de $\R^{n} \subset \R^{n+k+1}$ puede ser visto como $\R^{n} \times \widetilde{E}^{k}$, $\widetilde{E}^{k} \to \R\P^{k}$ el tautológica paquete de líneas sobre el espacio proyectivo.