Por qué utilizamos $L_2$ ¿Espacio en QM?

Question

Hice esta pregunta para muchas personas/profesores sin obtener una respuesta suficiente, ¿por qué en QM se asume que los espacios de Lebesgue de segundo grado son el que corresponde al espacio vectorial de Hilbert de las funciones de estado, de donde surge esto? y por qué el espacio de 2 órdenes que asume el siguiente producto interno:

$\langle\phi|\psi\rangle =\int\phi^{*}\psi\,dx$

Aunque hay muchas formas de definir el producto interior.

En los libros de Física, esto siempre se asume como dado, nunca se explica, también traté de leer algunos libros de matemática abstracta sobre estas cosas, y encontré algunos conceptos como "peso métrico" que será minimizado en tales espacios, aún así no entiendo realmente lo que está detrás de eso, así que por qué $L_2$ ¿Qué tienen de especial? ¿Quién y cómo entendieron los físicos que son los que debemos utilizar?

Answer 1

Aquí asumiremos que OP es no cuestionar los principios/postulados/axiomas físicos fundamentales de mecánica cuántica como, por ejemplo, la necesidad de tener un espacio de Hilbert $H$ en primer lugar, etc.; y que OP sólo está reflexionando sobre el papel de $L^2$ -espacios (a diferencia de, por ejemplo, $L^1$ -espacios).

Para concretar y simplificar, consideremos el espacio de posición tridimensional $\mathbb{R}^3$ . Se utiliza el $L^2$ -espacio $H=L^2(\mathbb{R}^3)$ como un espacio de Hilbert por varias razones:

1. Para tener una norma bien definida $$\tag{1} ||\psi||_p~:=~\left(\int d^3x ~ |\psi(x)|^p\right)^{\frac{1}{p}}, \qquad p~=~2.$$ [La norma (1) funciona en realidad para cualquier $L^p$ -espacio $L^p(\mathbb{R}^3)$ con $p\geq 1$ .]

2. Tener un producto interno/forma sesqui-lineal bien definida, $$\tag{2} \langle \phi, \psi\rangle ~:=~\int d^3x ~ \phi^*(x)\psi(x).$$ En particular, el integrando $\phi^*\psi$ debe ser integrable , es decir, i) Medible de Lebesgue y ii) el integrando de valor absoluto debe tener una integral finita: $$\tag{3} \int d^3x ~ |\phi^*(x)\psi(x)|~<~\infty.$$ Prueba de la ec.(3): Obsérvese la desigualdad $$\tag{4} (|\phi(x)|-|\psi(x)|)^2 \geq 0\qquad \Leftrightarrow\qquad 2|\phi(x)^*\psi(x)| \leq |\phi(x)|^2+|\psi(x)|^2,$$ para que el integrando $\phi^*\psi$ en el producto interior (2) se convierte en integrable $$\tag{5} 2\int d^3x ~ |\phi^*(x)\psi(x)|~\stackrel{(1,4)}{\leq}~ ||\phi||^2_2+||\psi||^2_2~<~\infty, $$ porque exigimos que $\phi$ y $\psi$ son cuadrado integrable, es decir, que $\phi,\psi\in L^2(\mathbb{R}^3)$ . Obsérvese, en particular, que la ec.(3) no es válida en general para $\phi,\psi\in L^p(\mathbb{R}^3)$ con $p \neq 2$ .

3. Para garantizar que el espacio vectorial normado $H$ es completa . Ver también este Respuesta de Phys.SE. [En realidad, esto funciona para cualquier $L^p$ -espacio $L^p(\mathbb{R}^3)$ con $p\geq 1$ .]

4. Para asegurarse de que, por ejemplo, el conjunto $C^{\infty}_c(\mathbb{R}^3)$ de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto se incluyen en el espacio $H$ . [En realidad, esto funciona para cualquier $L^p$ -espacio $L^p(\mathbb{R}^3)$ con $p\geq 1$ .]

5. Tenga en cuenta que todos los demás $L^p$ -espacios $L^p(\mathbb{R}^3)$ con $p\neq 2$ no son espacios de Hilbert (aunque son espacios de Banach). Esto está relacionado con el hecho de que el doble $L^p$ -el espacio es $L^p(\mathbb{R}^3)^*\cong L^q(\mathbb{R}^3)$ donde $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ . Por lo tanto, un $L^p$ -El espacio sólo es autodual si $p=2$ . La autodualidad implica que existe un isomorfismo entre kets y bras.

6. Es cierto que otros espacios de Hilbert (modelados sobre el espacio de posición $\mathbb{R}^3$ ) existen, pero suelen depender de una estructura adicional. (Por ejemplo, se podría utilizar otra medida de integración $d\mu$ que la medida de Lebesgue $d^3x$ .)

En conclusión, el $L^2$ -espacio $H=L^2(\mathbb{R}^3)$ es la opción más sencilla y natural/canónica.

Answer 2

El escenario tradicional de la mecánica cuántica es un espacio de Hilbert. Un observable $X$ con un espectro real continuo (como una componente de posición o de momento) tiene una representación en la que es diagonal, y por alguna versión del teorema espectral, el espacio de Hilbert es automáticamente isomorfo al espacio de $L^2$ funciones $\psi(x,s)$ (donde $s$ denota números cuánticos de observables independientes de $X$ pero conmutando con ella) tal que $X$ se representa como una multiplicación por $x$ .

Así, el $L^2$ La estructura no se impone arbitrariamente a la mecánica cuántica, sino que se deduce matemáticamente de la existencia de observables con un espectro real continuo.

En 1925, los primeros días de la MC, Heisenberg propuso un espacio de vectores con infinitas componentes, mientras que Schroedinger propuso un espacio de funciones de onda. En 1932, von Neumann (que demostró el teorema espectral) demostró que las dos formas de MQ (mecánica matricial y mecánica ondulatoria) eran sólo el caso de distinguir (en la representación utilizada) observables con espectro discreto (energía y momento angular de una partícula ligada) u observables con espectro continuo (posición o momento de una partícula ligada).

No hay ninguna diferencia real entre estas representaciones; sólo la colección de operadores diagonales en la representación es diferente. Por lo tanto, dan resultados totalmente equivalentes, pero depende del problema qué formulación facilita el acceso a los cálculos. La aproximación de Schroedinger se prefiere normalmente en la mecánica cuántica ordinaria, mientras que la de Heisenberg se utiliza principalmente en la teoría cuántica de campos (ya que la aproximación del oscilador armónico se generaliza más fácilmente a los campos cuánticos).

Answer 3

En primer lugar, permítanme subrayar que los estados propios de posición y momento no pertenecen a $L^2$ . Además, el estado canónico para un LPS no tiene norma de espacio de Hilbert.

La respuesta fundamental a tu pregunta está codificada en la estructura del espacio de fase subyacente. En la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica, el estado de un sistema viene dado por una función $F(p,q;t)$ de los cuales sólo se requiere la normalización; nada se dice de la integral de su cuadrado (o de cualquier otro producto escalar correctamente definido con ella misma). La normalización puede entenderse en términos físicos (probabilidades) o, matemáticamente, utilizando la relación de elemento unitario $\langle 1 \rangle = 1$ .

Los promedios de las magnitudes dinámicas se obtienen como el producto de las funciones dinámicas del espacio de fase $b(p,q;t)$ y los estados $F(p,q;t)$ . Se trata de una especie de espacio de Banach en el que las funciones dinámicas desempeñan el papel de "bras" y los estados el de "kets". De hecho, el promedio del espacio de fase puede reescribirse como $\langle \langle b(p,q;t) | F(p,q;t) \rangle \rangle$ .

El espacio de Hilbert y el $L^2$ puede derivarse del espacio de fases subyacente introduciendo una descomposición del estado $F(p,q;t)$ en amplitudes de valor complejo $\Psi(q;t)$ .

$$ \langle \langle 1 | F(p,q;t) \rangle \rangle = \langle \Psi(q;t) | \Psi(q;t) \rangle $$

Obsérvese que la estructura de fases es más general que la de Hilbert y $L^2$ espacios y cuentas para mixto estados cuánticos, que no son descritos por ningún $\Psi(q;t)$ .