Asymptotics para la cola de $L_p$ normas

Question

Deje $1<p<\infty$ ser fijas y $f\in L^p(\mathbb{R}^d)$. Me gustaría obtener alguna estimación asintótica de la función \begin{equation}\tag{1} F(R)=\lVert f\chi_{\{\lvert x \rvert >R\}}\rVert_{L^p}=\left(\int_{\lvert x\rvert>R}\lvert f(x)\rvert^p\, dx\right)^{\frac{1}{p}}\qquad \text{ as }R\to +\infty, \end{equation} bajo adecuado aún más los supuestos en $f$. He aquí una conjetura basada en la heurística que un menor summability índice corresponde a una rápida descomposición en el infinito:

Pregunta. Suponga que $f\in L^p\cap L^1(\mathbb{R}^d)$. Es cierto que $$\tag{2}F(R)\le C_f \cdot R^{-\frac{1}{p'}}?$$ Si (2) no se sostiene, podemos dar algún otro obligado en $F$?

Aquí $C_f>0$ es una constante que depende del $f$ (probablemente a través de uno o más de sus normas).

Answer 1

No creo que usted puede conseguir $C_f$ que sólo dependen de la norma de $f$, debido a $f(\cdot - y)$ tiene el mismo $L^1$$L^p$$f$.

Creo que se puede usar esta idea para encontrar un contraejemplo a tu conjetura: vamos a $g$ ser una función cuyo apoyo es en la unidad de la bola, y cuyas $L^1$ $L^p$ normas no son cero. Deje $a_n > 0$ ser un summable secuencia. Pick $y_n \in \mathbb R^d$ a ser una secuencia de con $|y_n - y_m| > 2$. A continuación, mediante el ajuste de $a_n$$y_n$, usted debería ser capaz de encontrar una $f(x) = \sum_n a_n g(x - y_n)$ tal que $$ \sup_{R>0} {\|f \chi_{|x|>R}\|}_p R^{1/p'} = \infty .$$

Answer 2

La reclamación. La conjetura es falsa. En efecto, procediendo como en el de Stephen Montgomery-Smith respuesta, se puede ver que el problema se reduce a la estimación asintótica de las colas $$S_N^{(p)}=\sum_{n=N}^\infty a_n^p, $$ donde $a_n\ge 0$ es un summable secuencia (es decir,$\sum_n a_n < \infty$). Si la hipótesis fuera verdadera, entonces el $S^{(p)}_N$ debe caries como $N^{1-p}$ (o más rápido). Sin embargo, podemos encontrar ejemplos de secuencias de $a_n$ tal que $S_N^{(p)}$ converge sólo de forma logarítmica.

Es decir, si tomamos un $\alpha>1$ y tomamos $$ a_n=\begin{cases} k^{-\alpha}, & n=2^k \\ 0, & \mathrm{otherwise}\end{casos}, $$ obtenemos $$ S_N^{(p)}=\sum_{k\ge \left\lfloor \frac{\log N}{\log 2}\right\rfloor}k^{-\alpha p} \ge c \left(\left\lfloor \frac{\log N}{\log 2}\right\rfloor\right)^{1-\alpha p}, $$ para algunas constantes $c>0$. Esto es suficiente para refutar la conjetura. $\square$

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EDITAR (en respuesta a Stephen Montgomery-Smith comentario más abajo). He aquí una más de la construcción en general, demostrando que no asintótica estimación de $F(R)$ puede existir.

Deje $\phi\colon (0, \infty)\to (0, \infty)$ ser una función monótonamente creciente tal que $\phi(R)\to \infty$$R\to \infty$. Decimos que una función de $f\in L^1\cap L^p(\mathbb{R}^d)$ existe tal que $$\sup_{R>0} \lVert f\chi_{\{\lvert x \rvert > R\}}\rVert_{L^p}\phi(R)=\infty.$$ Para construir $f$ nosotros en primer lugar tomar un nonvanishing golpe función de $g\ge 0$ apoyado en la unidad de la bola. A continuación, establecemos $$ \tilde{\phi}(R)=\phi(R)^{\frac{p}{2}\frac{1}{2p-1}},$$ la observación de que $\tilde{\phi}(R)$ aumenta monótonamente hacia la $\infty$, y establece que \begin{equation} y_n=[\tilde{\phi}]^{-1}(n) \mathbf{e}_1. \end{equation} Aquí $\cdot^{-1}$ se refiere a la funcional y la inversión de $\mathbf{e}_1=(1, 0,\ldots, 0)\in \mathbb{R}^d$. A continuación, establecemos $a_n=n^{-2}$ y definimos $f$ \begin{equation} f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n g(x-y_n). \end{equation} Desde $\lVert f\rVert_{L^1} = C_1\sum_{n} a_n$$\lVert f\rVert_{L^p}^p=C_p \sum_n a_n^p$, la función de $f$$L^1\cap L^p(\mathbb{R}^d)$. Tenemos $$ \begin{split} \lVert f\chi_{\{\lvert x \rvert > R\}}\rVert_{L^p}^p &\ge C \sum_{n> \tilde{\phi}(R)} n^{-2p} \\ &\ge C \tilde{\phi}(R)^{1-2p}= C\phi(R)^{-\frac{p}{2}}. \end{split}$$ Por lo tanto $$\sup_{R>0} \lVert f\chi_{\{\lvert x \rvert > R\}}\rVert_{L^p}^p\phi(R)^p=\sup_{R>0}\phi^{\frac{p}{2}}(R)=\infty.$$