¿Es $[0,1]$ una 1-variedad?

Question

¿Es $[0,1]$ una 1-variedad? Yo diría que no porque en cualquiera de los extremos, los conjuntos abiertos que lo contienen no son homeomorfos a una 1-bola en $\mathbb R^1$.

Answer 1

Tienes razón. No es una variedad de $1$ dimensión, pero es una variedad de $1$ dimensión con frontera. Confusamente, una variedad con frontera no es una variedad.

Answer 2

Es una $1$ variedad con frontera pero no una $1$ variedad. Los puntos de la frontera son homeomórficos a conjuntos abiertos en $\mathbb{H}^{1}=[0,\infty)$.

Answer 3

Estás en lo correcto, las bolas abiertas alrededor de $1$ y $0$ no son homeomorfas a $\mathbb R$. Es una cosa verlo intuitivamente, pero para probarlo nota que cualquier bola abierta $[0, a)$ contiene un conjunto compacto no vacío $[0, b]$ ($b < a$) cuyo complemento está conectado por camino. Pero los conjuntos abiertos conectados por camino en $\mathbb R$ son intervalos y el complemento de un intervalo nunca puede ser no vacío y compacto.

Como han señalado los otros que han respondido, $[0, 1]$ es en cambio algo llamado una variedad con frontera.

Answer 4

Yo simplifico la respuesta de Jim. Dado que $[0, a)$ es abierto en $[0, 1]$ y es conexo, entonces $\phi([0, a))$ debería ser conexo y abierto en $\def\R{\mathbb{R}}\R$. Por lo tanto, es un intervalo en $\R$, es decir, $\phi([0, a))=(c, f)$. Ahora, si dejamos que $\phi(0)=e$. Entonces $\phi(0, a)=(c, e)\cup (e,f)$. Pero $(0, a)$ es conexo, y $(c, e)\cup (e,f)$ no es conexo.

Answer 5

¡Sí! Pero es una variedad CON borde, porque puedes tener dos parches de coordenadas de $[0,1)$ (que es abierto en el semiespacio superior $\mathbb{H^1} = [0,\infty)$) a $[0,1]$ que satisfacen la

1. Propiedad $1$ a $1$
2. Ser $C^r$
3. Su inverso siendo continuo
4. $D\alpha \neq 0$

Por ejemplo, puedes dejar $$\alpha_1(t) :[0,1) \rightarrow [0,1), \alpha_1(t) = t$$ $$\alpha_2(t) :[0,1) \rightarrow (0,1], \alpha_2(t) = 1-t$$

¡Combinando estos dos parches, ¡cubren todo $[0,1]$!