En varias aplicaciones donde estamos tratando con ondas electromagnéticas o acústicas, tales como imágenes médicas, se utiliza el % de espacio $L^2$o el % de espacio de Sobolev relacionados con $W^{1,2}$. Nunca he visto una razón para ello. ¿Alguien sabe por qué estos espacios se prefieren sobre decir $L^1$ espacios?
Respuestas
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En la Mecánica Cuántica, el producto interior entre dos funciones de $\phi_1$ $\phi_2$ está dado por
$$\langle \phi_1(x) | \phi_2(x) \rangle = \int dx \, \phi_1^*(x) \phi_2(x) \, ,$$
y este producto interior tiene un lugar muy especial dedicado a ella en la teoría. Es decir, la ecuación
$$ \langle \phi_1(x) | \phi_1(x) \rangle = \int dx \, |\phi_1^*(x)|^2 =1 $$
debe ser cierto para cualquier función de onda que tiene sentido (i.e, wavefunctions debe ser normalizable). Esto ya muestra la importancia de la $L^2$ espacios en QM, dejar a un lado su importancia en el análisis de Fourier y armónico de la teoría. Matemáticamente, $L^2$ espacios son en realidad la única $L^p$ espacios que también son espacios de Hilbert, donde se puede aplicar la importante Representación de Riesz y Teorema de decir que a cada ket hay un único sostén (modulo de la habitual clase de equivalencia de a $L^p$ espacios). Aunque algunos no normalizable wavefunctions (como la posición y el impulso, que requieren aparejado espacios) son también muy importantes para la teoría, la mayoría de QM se basa en la noción de $L^2$ espacios.
Sandeep
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Los dos espacios que mencionaste al principio, diferente de la tercera, son espacios de Hilbert para que uno pueda aprovechar la teoría espectral, es decir, una forma bien establecida canonial manejar métodos de descomposición de modo que son de relevancia central para la teoría de las ondas.
También, segundo orden ecuaciones hiperbólicas implican leyes de conservación basadas en formas cuadráticas naturales en los datos de Cauchy dando lugar a estructuras de espacio de Hilbert-Sobolev.
Count Iblis
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En realidad es más una cuestión de conveniencia. Esto permite aplicar el espacio de Hilbert métodos, que los rendimientos rápidos algoritmos. Pero tales métodos no se obtienen los mejores resultados para la mayoría de los problemas de procesamiento de imágenes. E. g., como se ha señalado en este trabajo, un método que implica la $L^1$ norma va a funcionar mucho mejor para eliminar el ruido de impulso. En general se puede decir que la imagen de procesamiento de hecho en una forma óptima es nada más que un Bayesiana del problema inverso, es decir, dada la raw del sensor de datos, cuál es la más probable de la imagen?
