¿Hasta qué punto podemos obtener sin una base, usando la lógica de primer orden sólo?

Question

Creo que es interesante preguntarse qué tan lejos podemos llegar, sin comprometerse con ninguna en particular de las fundaciones, utilizando sólo la lógica de primer orden.

Por ejemplo, podemos demostrar teoremas de esta manera acerca de conjuntos parcialmente ordenados, grupos, etc. con sólo ir directamente a partir de los axiomas.

Bien, ahora supongamos que tenemos dos conjuntos parcialmente ordenados $P$ $Q$ y un fin-la preservación de la función $f : P \rightarrow Q$. Incluso sin ningún tipo de modelo de la teoría, todavía podemos razón acerca de esta configuración.

Hacemos esto mediante la formación de un nuevo primer orden de la teoría, cuyo dominio de discurso puede ser visto como $P \cup Q$ (o un superconjunto de la misma). Formalmente, nuestra firma incluye dos predicados unarios $P$ $Q$ donde $P(x)$ se puede leer '$x$ pertenece a $P$' e $Q(x)$ se puede leer '$x$ pertenece a $Q$.' Más sugestivamente, permite escribir $x \in P$ $x \in Q$ a la media de $P(x)$ $Q(x)$ respectivamente. También necesitamos un unario símbolo de función $f$ junto con el axioma de

$$\forall x \in P : f(x) \in Q$$

También, tenemos una relación símbolo $\leq$. Para expresar ese $f$ es el fin-la conservación, asumimos que:

$$\forall x,y \in P : x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$$

Por último, debemos asumir que los axiomas de un conjunto parcialmente ordenado se mantienen cuando se relativizan a $P$, y también a $Q$. Esto equivale a seis diferentes axiomas.

1. $\forall x \in P : x \leq x$
2. $\forall x,y \in P : x \leq y, y \leq x \Rightarrow x=y$
3. $\forall x,y,z \in P : x \leq y, y \leq z \Rightarrow x \leq z$
4. $\forall x \in Q : x \leq x$
5. $\forall x,y \in Q : x \leq y, y \leq x \Rightarrow x=y$
6. $\forall x,y,z \in Q : x \leq y, y \leq z \Rightarrow x \leq z$

Bien, que el programa de instalación. Utilizando el sistema formal que acabamos de crear, podemos razonar acerca de la configuración de $f : P \rightarrow Q,$ donde $f$ es una orden-la preservación de la función y $P$ $Q$ están parcialmente de conjuntos ordenados.

Así que mi pregunta es: ¿hasta dónde podemos llegar en este camino, sin comprometerse con ninguna en particular de las fundaciones, y en qué punto nos topamos con un muro de ladrillos?

Answer 1

La pregunta original es tal vez no es muy clara, pero el OP respuestas a los comentarios que sugieren las siguientes dos observaciones podrían ser relevantes:

1. Supongamos que especificar un conjunto de primer orden condenas $\Sigma$. De hecho puedo explorar lo que sigue de $\Sigma$, mediante el uso de primer orden de razonamiento, sin saber de antemano si $\Sigma$ es un conjunto coherente. (Por supuesto, una cosa que he podido descubrir es que para algunos $\varphi$, tenemos tanto $\Sigma \vdash \varphi$$\Sigma \vdash \neg\varphi$, por lo que el $\Sigma$ es en realidad, después de todo, incoherente.) En esta medida, en efecto, podemos explorar la teoría cuyos axiomas son $\Sigma$ sin que presupone una "fundación" (es decir, sin necesidad de recurrir a un segundo plano de la teoría que se pueden utilizar para el modelo de los axiomas).

2. OK, supongamos que las cosas han ido swimmingly hasta ahora: he deducido muchas de las proposiciones de $\Sigma$. Suponemos que algunos de $\sigma$ también de la siguiente manera. Pero que lo intentara, no puedo obtener una prueba. Así que voy a perder la confianza. ¿Cómo puedo mostrar que, efectivamente,$\Sigma \nvdash \sigma$? Así, un método estándar es para venir para arriba con un modelo satisface $\Sigma$ pero no $\sigma$. Pero ahora necesito algunos antecedentes de la teoría en la que yo pueda hacer algunas construcción de un modelo. Tal vez puedo encontrar un contramodelo a $\Sigma \vdash \sigma$ en algunos relativamente mansos de la estructura (los productos naturales o los reales). Si necesito algo más exótico, ZFC me da una especie de todo-propósito de Lego-kit para la construcción de estructuras matemáticas. Pero vamos a necesitar algunos de origen de los modelos.

En suma: si bien la investigación de lo $\Sigma$ no suponen "sólo" requiere lógica, para investigar lo $\Sigma$ no implica que vamos a menudo necesidad de recurrir a algunos antecedentes sustantivos de la teoría (si te gusta, un relativamente "fundacional" de la teoría).