En primer lugar: El francés efector significa "borrar", y es por supuesto un compuesto del prefijo e- (latín ex-) [lejos de] la cara. No conozco un significado diferente al de borrar (tal vez borrar o aniquilar sean también traducciones viables en algunas circunstancias), y lo que describes es probablemente más o menos lo que Grothendieck tenía en mente. Por lo que sé, Grothendieck es el inventor de esta terminología.
Permítanme centrarme en el caso más sencillo:
Supongamos que la categoría abeliana tiene suficientes injetivos y que $F$ sea un functor (exacto a la izquierda) a otra categoría abeliana. Como se sabe, los funtores derivados derechos asociados $R^nF$ puede construirse eligiendo una resolución inyectiva de cada objeto, aplicando $F$ a la resolución y tomando la homología.
Los funtores derivados correctos son a universal $\delta$ -funcionario debido a que cada $A$ admite una inyección $A \to I$ tal que $R^{n}F(I) = 0$ para $n \geq 1$ .
Veamos un caso concreto de los argumentos en cuestión: El primer paso para demostrar que dada cualquier otra $\delta$ -funcionario $T^n$ y una transformación natural $\phi : F \Rightarrow T^0$ hay un único secuencia de transformaciones naturales $\phi^n: R^nF \Rightarrow T^n$ ampliando $\phi$ y compatible con los morfismos de conexión de ambos $R^nF$ y $T^n$ .
Esta secuencia de transformaciones naturales se construye por inducción. Para cada $A$ elegir un borrado inyectivo $0 \to A \to I \to C \to 0$ y aplicar ambos $R^nF$ y $T^n$ y las hipótesis de inducción. Llegamos al siguiente diagrama:
$$\begin{array}{ccccccc} R^nF(I) & \to & R^{n}F(C) & \to & R^{n+1}F(A) & \to & \mathbf{0} \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \exists? & & \\ T^n(I) & \to & T^n(C) & \to & T^{n+1}(A) \end{array}$$ El cero en negrita se debe a eficacia de $R^{n+1}F$ . Los dos mapas verticales de la izquierda ya están construidos y el mapa marcado con un signo de interrogación existe y es único por un diagrama fácil de perseguir porque el cero en negrita implica que el morfismo de conexión $R^{n}F(C) \to R^{n+1}F(A)$ es un epimorfismo. El mapa que acabamos de construir es el $A$ -componente $\phi_{A}^{n+1}$ de $\phi^{n+1}$ . Estos argumentos se aplican algunas veces más al comprobar que esta construcción define realmente una transformación natural $\phi^{n+1} : R^{n+1} F \Rightarrow T^{n+1}$ que el $\phi^n$ son compatibles con los morfismos de conexión y que son únicos al no depender del borrado elegido.
En resumen y conclusión:
La universalidad se desprende de la eficientización debido a que los morfismos de conexión $R^{n}F(C) \to R^{n+1}F(A)$ asociado a la secuencia $0 \to A \to I \to C \to 0$ están obligados a ser epimorfismos, ya que $R^{n+1}F(I) = 0$ . En otras palabras, porque $R^{n+1}F$ se borra en $I$ .
Espero que esto sea lo suficientemente claro, si no, recomiendo encarecidamente repasar la demostración de la universalidad de los funtores derivados una vez más, por ejemplo en el Teorema 2.4.7 de Weibel. (¡No te pierdas los ejercicios al final de la sección!)
La condición de eficientización se puede utilizar para mostrar de forma más general: Si $S^n$ es un $\delta$ -funcionario y $S^{n}$ es borrable para $n \geq 1$ entonces el $\delta$ -funcionario $S^n$ es universal.
Se utiliza cuando se aplica cambio de dimensión : Supongamos que tenemos un borrado $0 \to A \to I \to C \to 0$ y $S^{n}(I) = 0 = S^{n+1}(I)$ . Entonces la secuencia $0 \to S^n(C) \to S^{n+1}(A) \to 0$ muestra que el morfismo de conexión $S^n(C) \to S^{n+1}(A)$ es un isomorfismo debido a este borrado.
Por ejemplo, la definición de planitud implica que $Tor_{n}(A,F)$ es cero para un módulo plano $F$ y $n \geq 1$ . Una variante del argumento anterior puede utilizarse para demostrar que $Tor_{n+1}(A,B)$ puede construirse a partir de $Tor_{n}(A,-)$ utilizando un (co)desplazamiento plano de $B$ y la resultante $\delta$ -funcionario es universal debido a lo anterior.
A veces, una variante un poco más general de la verosimilitud se denomina criterio de Buchsbaum (o verosimilitud débil) debido a la Proposición 4.2 del artículo de los Anales de Buchsbaum Satélites y funtores universales .
Añadido:
Este es, a mi entender, el criterio general más útil para $F$ para admitir un functor derivado derecho (clásico), que aprendí de Bernhard Keller . Abarca todas las "innumerables aplicaciones" explicadas por Akhil en su respuesta:
Supongamos que $\mathcal{C}$ es un abeliano (o más generalmente un exactamente ) y asumir que $F:\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ es un functor a una categoría abeliana $\mathcal{D}$ .
Teorema. Si existe una subcategoría completa $\mathcal{A}$ de $\mathcal{C}$ tal que
- $\mathcal{A}$ es cerrado bajo extensiones: si $0 \to A' \to C \to A'' \to 0$ es exacta en $\mathcal{C}$ entonces $C$ es un objeto de $\mathcal{A}$ .
- La restricción de $F$ a $\mathcal{A}$ es exacta.
- Para cada objeto de $\mathcal{C}$ existe un monomorfismo $C \to A$ con $A$ en $\mathcal{A}$ .
- Para cada secuencia corta exacta $0 \to A' \to C \to C''$ con $A'$ en $\mathcal{A}$ existe un diagrama conmutativo $$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & A' & \to & C & \to & C'' & \to & 0 \\ & & \parallel & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \to & A' & \to & A & \to & A'' & \to & 0 \end{array}$$ donde la segunda fila es exacta y $A, A''$ están en $\mathcal{A}$ .
Entonces $F$ admite un functor derivado derecho.
Notas:
- La condición técnica 4. se cumple en presencia de 3. si $\mathcal{A}$ se supone que es cerrado bajo cocientes en $\mathcal{C}$ . Es decir: Siempre que $0 \to A' \to A \to C \to 0$ es corto exacto entonces $C$ es un objeto de $\mathcal{A}$ .
- No exactitud izquierda de $F$ en $\mathcal{C}$ se impone: esto sólo es necesario para garantizar que $R^0F = F$ . En general, $R^{0}F$ es la mejor aproximación exacta a la izquierda de $F$ . En términos intelectuales: $R^{0}$ puede verse como reflejo de la inclusión de los funtores exactos de la izquierda en todos los funtores aditivos.
- Los funtores derivados de la derecha de $F$ se puede calcular eligiendo para cada $C$ un $\mathcal{A}$ -resolución- que existe debido a la condiciones de eficacia 2 y 3.
- Los objetos de $\mathcal{A}$ se llaman $F$ -acíclico o adaptado a $F$ si $\mathcal{A}$ satisface las hipótesis del teorema.
Observaciones finales (volviendo a la eficacia):
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El teorema anterior admite una inversión parcial: si $F$ admite un functor derivado derecho, la categoría $\mathcal{A}(F)$ de $F$ -Los objetos acíclicos (una noción que no quiero definir aquí en toda su generalidad), satisfacen las condiciones 1., 2. y 4. anteriores. La eficientización de los funtores derivados superiores derechos se ve así como la parte que le falta a un completa caracterización de los funtores derivados.
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La utilidad de Efectos inyectivos es, por supuesto, que los objetos inyectivos son $F$ -acíclico para cada functor aditivo. Esto se debe a que las secuencias exactas cortas de injectivos se dividen, por definición de inyectividad. En particular, cada functor sobre una categoría abeliana con suficientes injectivos puede ser derivado (no sólo los exactos de la izquierda).
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No conozco una demostración completa del teorema tal y como se plantea en la literatura sin dar un rodeo a través de las categorías derivadas, lo que ciertamente parece una exageración dada su naturaleza más bien elemental. Véanse las secciones 12 y siguientes de Artículo de Keller o las secciones 10.5, 10.6 y 12 de mis notas sobre las categorías exactas .
