Entender por qué las raíces de homogéneo diferencia ecuación debe ser valores propios

Question

Hay algunos evidente la relación entre las soluciones de la raíz a una homogénea diferencia de la ecuación (como la recurrencia de la relación) y los autovalores de la que estoy tratando de ver. He leído a lo largo de la wiki en el artículo 3.2, 3.4 y los valores propios ($\lambda$ ) se insinúa como las raíces, pero todavía no estoy seguro de por qué estos deben ser los autovalores de la matriz, decir $A_0$, y cuál es el significado de $A_0$ puede ser.

Parece que para resolver un lineal homogénea diferencia ecuación nos encontramos con la "polinomio característico" simplemente la factorización de una diferencia de la ecuación. Sin embargo, normalmente para encontrar el polinomio característico" yo podría resolver la ecuación característica para algunos matriz,

$A_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}$

$(A_0 - \lambda I)\mathbf x = \mathbf 0$,

luego resuelve el determinante igual a $0$, y luego resolver para cada una de las $\lambda$ p. ej.

$ \det(A_0 - \lambda I) = 0$

$(1 - \lambda)(2 + \lambda)(3 - \lambda) = 0$

Ahora supongo que esto también pasa a ser una solución para algunos lineal de la diferencia de la ecuación, por lo que aquí el polinomio característico es $\lambda^3 - 2\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$, y la diferencia con la ecuación. $y_{k+3} - 2y_{k+2} - 5y_{k+1} + 6y_k = 0 $. Entonces, por ejemplo, $\lambda = 3$ es una solución para todos los k.

Ahora bien, ya hemos encontrado esta solución a esta diferencia la ecuación, ¿cómo podemos explicar alguna relación especial a $A_0$, otros de $\lambda = 3$ pasa a ser un autovalor de a $A_0$? ¿Hay algún significado para hacer de $A_0$?

(cf. 4.8, Álgebra Lineal 4, D. Laicos)

Answer 1

Tienes un error en tu expansión del polinomio característico, debería ser $\lambda^3-2 \lambda^2-5 \lambda +6$.

Para ver la conexión entre este polinomio y la matriz $A_0$, ayuda a reducir la diferencia de la ecuación de abajo de una de primer orden de la ecuación con muchas variables.

Deje $x_k^1 = y_k, x_k^2 = y_{k+1}, x_k^3 = y_{k+2}$. Entonces la diferencia de la ecuación se convierte en $$x_{k+1}^1 = x_k^2$$ $$x_{k+1}^2 = x_k^3$$ $$x_{k+1}^3 = -6 x_k^1 + 5 x_k^2 + 2 x_k^3,$$ o, en la matriz de términos, con $x_k = (x_k^1,x_k^2,x_k^3)^T$: $$ x_{k+1} = A x_k = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & 5 & 2 \end{bmatrix} x.$$ Nota la conexión entre el polinomio característico y los coeficientes de la fila inferior de la matriz (esto se llama la forma canónica controlable en el control de los círculos). Si usted trabaja fuera de los autovalores de a $A$ usted encontrará que son $\{-2,1,3\}$. De hecho, el polinomio característico de a$A$$\lambda^3-2 \lambda^2-5 \lambda +6$. Por lo tanto $A$ es diagonalizable por algunos matriz $V$, y ha $A_0 = V^{-1} A V$ donde $A_0$ tiene el formulario de arriba.

Ellos comparten el mismo polinomio característico debido a $\det (\lambda I - A_0) = \det (\lambda I - V^{-1} A V) = \det V^{-1} \det (\lambda I - A ) \det V = \det (\lambda I - A)$.

Enlaces de interés: http://en.wikipedia.org/wiki/Companion_matrix http://en.wikipedia.org/wiki/State_space_representation#Canonical_realizations

Answer 2

Las raíces son los valores propios. ¿Cuál es el operador que son los autovalores? Es el cambio de operador.

Considere el espacio vectorial $V$ de las secuencias de $a_0, a_1, a_2, ...$ (a decir de los números complejos). Definir el operador de desplazamiento a la izquierda

$$S(a)_i = a_{i+1}.$$

En otras palabras, $S$ toma de entrada de una secuencia $a_0, a_1, a_2, ...$ y devuelve la secuencia de $a_1, a_2, a_3, ...$. Ahora necesitamos los siguientes tres observaciones fundamentales.

Observación 1: El lineal homogénea de recurrencia con polinomio característico $p$ es, precisamente, descrito por la ecuación de $p(S) a = 0$. En otras palabras, las secuencias de satisfacciones tan lineal recurrencia son precisamente las secuencias en el núcleo de $p(S)$.

Observación 1.5: El operador de desplazamiento a la $S$ actúa sobre el espacio de soluciones de cualquier ecuación de la forma $p(S)a = 0$.

Observación 2: Sobre los números complejos, podemos factor de $p(S) = \prod (S - \lambda_i)$. Por lo tanto si $(S - \lambda_i) a = 0$, o, equivalentemente, si $a$ es un autovector de a $S$ con autovalor $\lambda_i$,$p(S) a = 0$.

Observación 3: $(S - \lambda_i) a = 0$ si y sólo si $a_n = c \lambda_i^n$ para algunas constantes $c$.

$S$ asemeja, en cierto sentido, la diferenciación del operador, el cual es enviado a si uno envía $V$ a los espacios de poder formal de la serie a través de

$$(a_0, a_1, a_2, ...) \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} x^n.$$

Así, todo lo anterior se aplica (al menos formalmente) lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes y sus características polinomios así. Los correspondientes vectores propios son las funciones $e^{\lambda_i x}$.