criterio iff para que el haz vectorial n-dimensional sea trivial

Question

Demostrar que un $n$ haz vectorial dimensional $p: E \to B$ es trivial si existe un mapa continuo $\pi: E \to \mathbb{R}^n$ cuya restricción a cada fibra $p^{-1}(b), b \in B,$ es un isomorfismo de espacio vectorial.

Esto es para mi estudio independiente de matemáticas de la escuela secundaria y mi maestro no puede ayudar.

Answer 1

Defn: Dos paquetes $p_1:E_1\to B$ y $p_2:E_2\to B$ son isomorfos si tenemos algún mapa $f:E_1\to E_2$ tal que $p_1=p_2\circ f$ y para cada $b\in B$ el mapa $f|_{p_1^{-1}(b)}:p_1^{-1}(b)\to p_2^{-1}(b)$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Si el haz es trivial, por definición tenemos algún isomorfismo $f:E\to B\times \mathbb R^n$ tal que $f|_{p^{-1}(b)}:p^{-1}(b)\to \mathbb R^n$ es un isomorfismo de espacios vectoriales, como se deseaba.

Si tenemos una $\pi$ define $f:E\to B\times \mathbb R^n$ por $f(x)=(p(x),\pi(x))$ . Se trata de un isomorfismo, ya que si $p_0:B\times \mathbb R^n\to B$ es la proyección estándar, tenemos $p = p_0\circ f$ y para cada $b\in B$ , $f|_{p^{-1}(b)}=\pi(x)$ es un isomorfismo.

Answer 2

Morfismos $\pi:E\to \mathbb R^n$ del tipo que usted describe y trivializaciones $j:E\stackrel {\cong}{\to } B\times \mathbb R^n$ de $E$ se corresponden bajo la correspondencia biyectiva $$ \pi :E\to \mathbb R^n\iff j:E\stackrel {\cong}{\to } B\times \mathbb R^n:e\mapsto (p(e),\pi(e)) $$

Editar
El mapa $\pi$ es interesante porque es un caso particular de un Mapa de Gauss un mapa $E\to \mathbb R^N$ se supone que sólo es lineal monomorfismo en las fibras de $E$ .
Estos mapas de Gauss permiten clasificar los haces vectoriales en un espacio paracompacto $B$ por clases de homotopía de mapas continuos de $B$ en un grassmanniano infinito.
Esto se explica en el capítulo 3 de la obra de Husemoller Haces de fibra .