desigualdad trigonométrica

Question

Por favor ayúdame a establecer(etablir):

$\forall n\in \mathbb{N}-\left\{ 0,\left. 1 \right\} \right.$ , $x\in \mathbb{R}-\left\{ \pi \mathbb{Z} \right\}$ , $\left| \sin \left( nx \right) \right|<n\left| \sin x \right|$

gracias de antemano...

Answer 1

¿Cuál es la gama de $\sin(z)$ ¿Cuál es la gama de $\sin(n z)$ ?

Todas las restricciones sobre $n$ y $x$ sólo elimina los molestos contraejemplos.

Answer 2

Pasé algún tiempo resolviendo esto. Aquí está mi solución basada en sus sugerencias. Me gustaría comprobar si es correcta.

Demostraremos por inducción que $\forall n \in \Bbb N : |sin(nx)| \le n|sin(x)|$ .

Para n=1 esto es obviamente cierto. Supondremos que este enunciado es cierto para n y demostraremos que también lo es para n+1. Así que

(utilizando la identidad trigonométrica antes mencionada)

$|\sin((n+1)x)|=|\sin(nx+x)|=|\sin(nx) \cos(x)+\cos(nx)\sin(x)|$

(utilizando la desigualdad del triángulo y los límites de sen y cos)

$\le |\sin(nx)\cos(x)|+|\cos(nx)\sin(x)| \le 1 \cdot |\sin(nx)|+1 \cdot |\sin(x)|$

$\le n|\sin(x)|+|sin(x)| = (n+1)|\sin(x)|$

Answer 3

Pista: ¿Ha oído hablar de la inducción?