Conexiones entre la solución de la ecuación ordinaria simple, la distribución normal y la ecuación del calor

Question

La solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal simple de primer orden:

$$x'=-tx, x(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

es el Distribución normal estándar ¡!

Una solución de otra famosa ecuación diferencial (parcial), la ecuación del calor, es -dadas las condiciones adecuadas- también la distribución normal. Esto no es ni mucho menos una coincidencia (véase, por ejemplo aquí y muchos más).

Mi pregunta

¿Significa esto algo? ¿Hay alguna intuición de por qué es así o es sólo una coincidencia? ¿O hay alguna conexión más profunda entre la ecuación diferencial ordinaria anterior, la ecuación del calor y la distribución normal?

Editar:
Hice una pregunta sobre la interpretación física del lado derecho de la ecuación aquí:
https://physics.stackexchange.com/questions/158425/which-physical-entities-equal-distance-times-time

Esta es también la razón por la que cambié la notación original a $t$ y $x(t)$ porque creo que podría dar una mejor intuición física para pensar en términos de tiempo, distancia y velocidad.

Answer 1

Desde un punto de vista físico, la conexión entre la ecuación del calor y la distribución normal es clara, porque la ecuación del calor puede derivarse considerando el movimiento browniano.

El movimiento browniano significa sumar muchos números independientes e idénticamente distribuidos: cada vez que una partícula se mueve, suponemos que se mueve una cantidad aleatoria, y cada una de ellas se extrae independientemente de la misma distribución. Así, si la partícula se ha movido $n$ veces, tenemos que sumar $n$ tales números para encontrar su posición. El teorema del límite central nos dice que como $n$ se acerca al infinito, la suma de $n$ tales números aleatorios se aproximarán a una distribución gaussiana. Así pues, si empezamos con un montón de partículas todas en el mismo lugar (más o menos), y las dejamos difundir durante un tiempo suficiente, el resultado será aproximadamente una distribución normal.

En cuanto a la relación con su ecuación, no estoy seguro. Quiero decir, obviamente están relacionados en que $e^{-\frac{1}{2}x}$ es una solución, y puedo ver varias formas intuitivas de ver que esto debería ser efectivamente una solución a ambas ecuaciones. Pero parece que debería haber algo más profundo y más "físico" que eso, y por el momento no puedo ver qué es.

Answer 2

Utilizando una solución autosimilar que es $$ \partial_t T = \nu\partial_{xx}T $$ podemos ver la auto-transformación similar a través de $$ \frac{\bar{T}}{t}\sim \nu\frac{\bar{T}}{x^2}\implies x\sim (\nu t)^{1/2} $$ utilizando una transformación de la forma $$ \zeta = \dfrac{x}{(\nu t)^{1/2} } $$ entonces busquemos soluciones de la forma $$ T = \bar{T}f(\zeta) $$ así obtenemos $$ \bar{T}\frac{\partial \zeta}{\partial t}\frac{d}{d\zeta}f = \nu\bar{T}\frac{\partial \zeta}{\partial x}\frac{d}{d\zeta}\frac{\partial \zeta}{\partial x}\frac{d}{d\zeta}f\tag{*} $$

$$ \frac{\partial \zeta}{\partial t} = -\frac{1}{2}\frac{x}{(\nu t)^{1/2}}\frac{1}{t}\\ \frac{\partial \zeta}{\partial x} = \frac{1}{(\nu t)^{1/2}} $$

por lo que la Ec (*) se convierte en $$ -\frac{1}{2}\frac{x}{(\nu t)^{1/2}}\frac{1}{t}\frac{df}{d\zeta} = \frac{1}{2} \zeta \frac{1}{t}\frac{df}{d\zeta}\\ =\nu\frac{1}{(\nu t)} \frac{d^2f}{d\zeta^2} = \frac{1}{t}\frac{d^2f}{d\zeta^2} $$

esto lleva a $$ -\frac{\zeta}{2} f' = f'' $$ esto lleva a $$ \ln(f') = -\frac{\zeta^2}{4} + C $$ o $$ f' = A\mathrm{e}^{-\frac{\zeta^2}{4}} $$ y finalmente (bueno casi) $$ f(\zeta) = A\int \mathrm{e}^{-\frac{\zeta^2}{4}} d\zeta $$ entonces $$ T = \bar{T}A\int \mathrm{e}^{-\frac{\zeta^2}{4}} d\zeta $$ entonces usted puede poner de nuevo las variables y luego las condiciones apropiadas rendimientos similares a lo que usted está pidiendo. Ya que hemos vinculado la difusión con la ecuación de distribución normal, entonces hemos terminado si lo anterior se ajusta a su pregunta.

Answer 3

Su ODE puede expresarse como $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\log x)=-t$ , lo que implica fácilmente que $\log x$ es una parábola descendente, o $x\propto\exp(-\frac12t^2)$ . Pero eso no es muy esclarecedor.

---

Como sabemos, la distribución normal es el límite de la distribución binomial para grandes $n$ . La función de masa de probabilidad de la distribución binomial, tomando $p=q=\frac12$ es $$f(k)=\binom nk 2^{-n},$$ por lo que la "pendiente" es $$f(k+1)-f(k)=\left(\frac{f(k+1)}{f(k)}-1\right)f(k)=\left(\frac{n-k}{k+1}-1\right)f(k)=\frac{n-2k-1}{k+1}f(k).$$ Expresando $k$ en relación con la ubicación del pico a través de $k=n/2+\ell$ y tomando $n\gg1$ tenemos $$f(k+1)-f(k)\approx-\frac{2\ell+1}{n/2}f(k),$$ es decir, la "pendiente" es aproximadamente proporcional a $-\ell f(k)$ . Se puede esperar que, tras los límites y el escalado adecuados, esto se reduzca a $$f'(t)\propto -tf(t).$$

Answer 4

Lo he pensado un poco y creo que la clave para encontrar la conexión entre la oda anterior y la distribución normal está en las características geométricas de la curva que suaviza la forma que resulta al convolucionar los posibles resultados de, por ejemplo, simples lanzamientos de monedas.

He escrito una breve nota didáctica al respecto y me gustaría recibir comentarios: Aquí

Editar
La conexión entre el pde y la oda puede verse: aquí . En la página 3 vemos que el problema de Cauchy para la ecuación de difusión conduce naturalmente a la transformación del pde de difusión en la oda anterior porque tenemos que introducir un factor de escala que asegura la conservación de la energía a través del tiempo. En comparación con la aproximación de separación de variables para el problema espacialmente acotado, obtenemos el adicional $-t$ como coeficiente en la ecuación anterior. Esto conduce al factor adicional $-t/2$ dentro de la función exponencial en la solución - que crea la curva de campana característica. Otra forma demasiado simplificada e intuitiva de verlo es que cuando la línea se vuelve espacialmente ilimitada todo lo que sube debe bajar para asegurar un resultado finito, esto es lo que hace el factor de escala... lo que de nuevo lleva a una solución en forma de campana.