Demostrar la existencia de $X \subset \mathcal{P}(\mathbb{N})$ con cardinalidad continua, tal que cada intersección de dos de sus elementos es finita.

Question

Demostrar que existe un conjunto $X \subset \mathcal{P}(\mathbb{N})$ así que que $|X| = \mathfrak{c}$ y para cada $A,B\in X$ el conjunto $A \cap B$ es finito.

Dado que esta afirmación parece poco intuitiva, es difícil encontrar ideas para demostrarla. Seguramente, si el conjunto X tiene una cardinalidad continua, algunas intersecciones de sus elementos también serán infinitas.

Mi pensamiento se dirigió entonces a ensamblar $X$ para que todos los elementos de $X$ contienen el número 1 y ningún otro elemento común. Sin embargo, eso parece bastante difícil, cuando tenemos que hacer una cardinalidad continua de estos conjuntos donde el único elemento común es el 1.

Así que, básicamente, estoy atascado y me gustaría recibir ayuda.

Answer 1

Para cada $b:\mathbb{N}\rightarrow \{0,1\}$ construimos un elemento $X_b$ de $X$ de la siguiente manera:

Todos los números escritos en binario:

$X_b=\{ 1, 1b_1, 1b_1b_2, 1b_1b_2b_3, \ldots\}.$

Entonces $X$ satisface las propiedades deseadas.

Answer 2

Hay varias formas de construir este tipo de $X$ . Una es la que da la respuesta anterior, aquí está mi favorita (junto con la de la respuesta de i707107) :

Para $x\in \mathbb{R}$ , elija una secuencia $(q_n^x)$ de racionales que converge a $x$ .

Entonces $X=\{\{q_n^x, n\in \mathbb{N}\}, x\in \mathbb{R}\}$ es un subconjunto de $\mathcal{P}(\mathbb{Q})$ de tamaño $\mathfrak{c}$ por unicidad de límites, y si $q_n \to x, r_n \to y$ e infinitas $q_n $ también son $r_m$ entonces se puede extraer una subsecuencia de $q_n$ que tiende a $y$ para que $x=y$ (unicidad de límites), por lo que elementos distintos de $X$ tienen una intersección finita. Es fácil trasladarlo a $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ desde $\mathbb{Q}$ es contable.