Razona si es cierto que:

Question

Que $a,b,c\in\mathbb{R}_{>0}$. Es cierto que: $$ \left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\right) ^ {a + b + c} ≥a ^ ab ^ bc ^ c $$ comentó que la desigualdad es homogénea (un poco extraña), pero no podía usarlo. También directamente tomando el logaritmo no parece ayudar a; ¿Cómo decidir ya es cierto?

Answer 1

Desde $a,b,c>0$,

\begin{align} \frac{a \log a + b \log b + c \log c}{a+b+c} \le \log \left(\sum_{cyc}a\times \frac{a}{a+ b+ c}\right) \end {Alinee el}

por la desigualdad de Jensen en el $\log$. Toma exponente da el resultado requerido.