¿Frente a este problema $$\lim_{x\to \infty}\frac{\log x}{x^a}$$ with $a # > 0 $, then I automatically think of l'Hoital's. But then can we approach this problem using the definition of limits? I mean can we find $ x_0 $ such that for $x > x_0 (\epsilon) $ it holds that $\dfrac {\log x} {x ^ a} $< \epsilon$ for any $\epsilon > 0?
¿Esencialmente es otorgada para que $\log x$ crece más lento que $x^a$? ¿Qué es la cosa más simple, podríamos suponer que este resultado?
Que $a > 0$; Nota que todos $c > 0$ tenemos $$ \log x = \int_{t=1}^{x} \frac{1}{t} \leq \int_{t=1}^{x}t^{c-1} = \frac{x^{c}-1}{c} < \frac{x^{c}}{c} $$ % todo $x > 1$; Si $c := a/2$, entonces $$ \frac{\log x} {x ^ {un}} < \frac{x^{c-a}}{c} = \frac{2}{a}x^{-a/2} \to 0 $$ $x$ crece indefinidamente.
Ahora se puede ampliar el argumento sobre argumento de epsilon fácilmente.
Si $x > 1$ elegir cualquier $b$ tal que $0 < b < a$ tenemos como $x \to \infty$
$$ 0 < \frac{\ln x}{x^a} = \frac{\ln x^b}{bx^a}< \frac{x^b}{bx^a} \to 0.$$
El argumento de $\epsilon$ se aplican a la RHS a encontrar $x_0(\epsilon)$ donde
$$ \frac{\ln x}{x^a} < \frac{x^b}{bx^a} < \epsilon,$$
Cuando $x > x_0(\epsilon).$
En este caso podemos utilizar
$$x_0(\epsilon) = \left(\frac{1}{b \epsilon}\right)^{1/(a-b)}$$
Aquí es un camino sin l'Hospital, sólo por variables que cambian varias veces hasta que el problema se vuelve mucho más sencillo.
Debido a $e^x$ es una función creciente, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x^a}=0 $$ es equivalente a $$ \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x^a}}{x}=\infty, $$ que a su vez es equivalente a $$ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^b}=\infty,\quad b=1/a, $$ después de la sustitución de $x$$x^b$.
Tomando $b^{th}$ raíces de ambos lados, la última instrucción es equivalente a $$ \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x/b}}{x}=\infty, $$ que es equivalente a $$ \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{bx}=\infty, $$ en el cual se puede multiplicar a través de por $b$ a reducir el problema a mostrar $$ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x}=\infty. $$
A partir de la desigualdad de $e^x\geq x$, obtenemos que $e^{x/2}\geq \frac{x}{2}$ y, por tanto,$e^x\geq \frac{x^2}{4}$. Por lo tanto $$ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x}\geq \lim_{x\to\infty}\frac{x}{4}=\infty. $$ La mejor parte es que la elección de $N,\epsilon$ es claro en el último límite. Ahora invertir todos nuestros cambios de variables para obtener una $N,\epsilon$ elección que trabaja para el problema original!
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