Valor absoluto del exponencial complejo

Question

¿Alguien puede explicarme por qué el valor absoluto de un exponencial complejo es 1? (O al menos eso es lo que dice mi libro de texto.)

Por ejemplo:

$$|e^{-2i}|=1, i=\sqrt {-1}$$

Answer 1

Si es puramente complejo entonces tenemos $e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x)$ el valor absoluto ($|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$) es entonces igual a $\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}=1$

Answer 2

Después de +1 respuesta aceptada, solo una extensión sobre lo mismo...

$$\begin{align} \left\vert e^{\text{Re}\,+\,i\text{ Im}}\right\vert & = \lvert e^\text{Re}\cdot e^{i\text{ Im}} \rvert\\[2ex] &=\lvert e^{\text{Re}}\rvert\,\cdot \lvert e^{\,i\text{ Im}}\rvert\\[2ex] &= e^{\text{Re}} \end{align}$$

porque $e^{ix} \in S^1,$ y por lo tanto, $\lvert e^{i\,\text{Im}}\rvert=1.$

Answer 3

Según la fórmula de Euler, $e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)$, lo cual es un punto en el círculo unitario en un ángulo de $\theta$. Tomemos $\theta = \frac{-2j}{j} = -2$, entonces $e^{-2j}$ es uno de los puntos en el círculo unitario, que por supuesto está a una unidad de la origen, por lo tanto $\left|e^{-2j}\right| = 1$.

Answer 4

Pista: $e^{-2j} = \cos(-2) + j \sin(-2)$ ...

Answer 5

Cuando extendemos la función exponencial $f(x)=e^x$ a números complejos de modo que la extensión sea diferenciable, la única manera de definir $$f(x+iy)=e^x(\cos y+i\sin y)$$ Espero que esto ayude a tu pregunta.

Se debe saber por qué surge la fórmula de Euler.