Valor absoluto del exponencial complejo

Question

¿Alguien puede explicarme por qué el valor absoluto de un exponencial complejo es 1? (O al menos eso es lo que dice mi libro de texto.)

Por ejemplo:

$$|e^{-2i}|=1, i=\sqrt {-1}$$

Answer 1

Definición de valor absoluto: $$\left|a+i\ b\right|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Fórmula de Euler: $$e^{i\theta}=cos\ \theta + i\sin\ \theta$$

Identidad trigonométrica:

$$cos^{2} \theta + sin^{2} \theta = 1$$

Pasos: $$ \left|e^{-i2}\right| $$ $$\theta=-2$$ $$\left|e^{i\theta}\right|=\sqrt{\cos^2\ \theta + \sin^2\ \theta}$$ $$\left|e^{i\theta}\right|=\sqrt1$$ $$\left|e^{i\theta}\right|=1$$ $$ \left|e^{-i2}\right| = 1 $$