Si $f$ es un homeomorfismo en $[0,1] \to [0,1]$ entonces necesito mostrar la existencia de una secuencia de polinomios $p_n(x)$ de tal manera que $p_n \to f$ de manera uniforme en $[0,1]$ y cada uno $p_n$ es también un homeomorfismo. Gracias por la ayuda
Respuesta
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WLOG $f$ está aumentando estrictamente; entonces $f(0)=0,f(1)=1.$
Supongamos que primero $f \in C^1([0,1]).$ Luego $f' \ge 0.$ Por Weierstrass hay una secuencia de polinomios $p_n \to f'$ de manera uniforme en $[0,1].$ Desde $f' \ge 0,$ podemos asumir que estos polinomios son positivos (añadir algunas pequeñas constantes positivas si es necesario). Defina
$$q_n(x) = \int_0 ^x p_n(t)\, dt.$$
Entonces cada uno $q_n$ es un polinomio. Tenemos $q_n \to \int_0 ^x f'(t)\, dt = f(x)$ de manera uniforme en $[0,1].$ Porque $q_n' = p_n >0,$ cada uno $q_n$ está en estricto aumento, de ahí el homeomorfismo de $[0,1]$ ont0 $[0,q_n(1)].$ Los polinomios $q_n/q_n(1)$ entonces son los homeomorfismos de $[0,1]$ a $[0,1]$ que convergen en $f$ de manera uniforme en $[0,1].$
Así que hemos terminado si $f \in C^1([0,1]).$ Para terminar, trata de probar que si $f$ es sólo continua, puede ser aproximada uniformemente aumentando estrictamente $C^1$ funciones. Un enfoque aquí sería a través de los moluscos. Otro sería aproximarse $f$ con una función lineal a destajo $g$ y luego aproximar $g$ con un $C^1$ función.
