Buscando un nombre para una estadística de "influencia media"

Question

He utilizado una estadística para medir la "influencia" o algún concepto análogo de la siguiente manera:

Primero calcula la media de una muestra dada, luego calcula la media de la muestra dada excluyendo cada una de las observaciones. Reste la última de la primera. El resultado es un vector que mide la cantidad en que aumenta la media de la muestra por la inclusión de cada observación.

Algo así (más o menos): $$ \frac{\sum_{i = 1}^{n}}{n} - \frac{\sum_{i \neq 1}^{n}}{n - 1} $$

Para mí, esto recuerda el concepto de " Aprovechar "en regresión, pero me pregunto si

1. Esta medida específica se ha utilizado en otros lugares, especialmente en la literatura estadística.
2. Esta medida específica tiene un nombre

Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

La media es el coeficiente en la regresión de los datos contra la constante $1$ . Su estadística, en este contexto de regresión, es el ejemplo más simple posible de la DFBETA diagnóstico definido en Belsley, Kuh y Welsch, Diagnóstico de regresión (J Wiley & Sons, 1980):

...observamos primero el cambio en los coeficientes de regresión estimados que se produciría si el $i^\text{th}$ fila fueron borrados. Dando a conocer los coeficientes estimados con el $i^\text{th}$ fila eliminada por $\mathbf{b}(i)$ este cambio se calcula fácilmente a partir de la fórmula

$$DFBETA_i = \mathbf{b} - \mathbf{b}(i) = \frac{(X^T X)^{-1} x_i^T e_i}{1 - h_i}$$

donde

$$ h_i = x_i (X^T X)^{-1} x_i^T \ldots$$

[pp 12-13, fórmulas (2.1) y (2.2)].

En este caso la matriz de diseño $X$ es el $n$ por $1$ matriz de unos, de donde $(X^T X)^{-1} = 1/n$ . Los números $e_i$ son los residuos,

$$e_i = x_i - \bar{x}.$$

Por lo tanto,

$$\eqalign{ DFBETA_i &= \frac{x_i - \bar{x}}{n - 1} = \frac{1}{n-1}\left(x_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j \right) \\ &= \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j - \frac{1}{n-1}\sum_{j \ne i} x_j \text{.} }$$

Answer 2

Está cerca (si no exactamente) de la influencia local y/o de la distancia de Cook.

JRSS B, Vol. 48, nº 2, 1986, p.133-169 es el artículo clásico. Un poco denso, pero un lugar para empezar a buscar en la literatura.